Seja
um domínio principal. Mostre que
é associado à
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um domínio principal
, o produto do máximo divisor comum de
pelo mínimo múltiplo comum de
é associado ao produto
. Vamos usar o fato de que todo domínio principal é um UFD (domínio de fatoração única) e trabalhar com fatorizações em irreduzíveis.
Passo 2
Como
é UFD, escrevemos as fatorações em irreduzíveis (primos) de
e
:
onde
são unidades de
, cada
é irreduzível, e
.
Passo 3
Em UFD, temos as fórmulas
onde
e
são unidades. Ao multiplicar
por
, os expoentes se somam:
Passo 4
Por outro lado,
Comparando, vemos que
difere de
apenas por uma unidade de
. Logo,
Resposta
Em todo domínio principal
,
é associado a