Prove que \mathrm{u} \cdot(\mathrm{u} \times \mathrm{v})=\mathrm{v} \cdot(\mathrm{u} \times \mathrm{v})=0 de dois modos: primeiro calculando diretamente e segundo utilizando as propriedades de \mathrm{u} \times \mathrm{v}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
u\cdot(u\times v)=0 \quad\text{e}\quad v\cdot(u\times v)=0
usando dois modos: (1) cálculo direto em coordenadas e (2) propriedade de ortogonalidade do produto vetorial. Vamos precisar das definições de produto escalar e produto vetorial em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Método 1 – cálculo direto. Escreva
u=(u_1,u_2,u_3),\quad v=(v_1,v_2,v_3).
Então
u\times v =\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
O produto escalar u\cdot(u\times v) é
u_1(u_2v_3-u_3v_2) +u_2(u_3v_1-u_1v_3) +u_3(u_1v_2-u_2v_1).

Passo 3

Ainda no método direto, observe que ao expandir surgem termos que se cancelam:
u_1u_2v_3 - u_1u_3v_2 +u_2u_3v_1 - u_1u_2v_3 +u_3u_1v_2 - u_2u_3v_1 =0.
Logo
u\cdot(u\times v)=0.
De modo idêntico, para v\cdot(u\times v) obtém-se
v_1(u_2v_3-u_3v_2) +v_2(u_3v_1-u_1v_3) +v_3(u_1v_2-u_2v_1),
cuja soma também se anula por cancelamentos, dando
v\cdot(u\times v)=0.

Passo 4

Método 2 – usando propriedades do produto vetorial. Sabemos que u\times v é um vetor perpendicular a ambos u e v. Em \mathbb{R}^3, quando dois vetores são perpendiculares, seu produto escalar é zero.

Passo 5

Aplicando isso, como u\times v\perp u temos
u\cdot(u\times v)=0,
e como u\times v\perp v temos
v\cdot(u\times v)=0.

Resposta

u\cdot(u\times v)=0 \quad\text{e}\quad v\cdot(u\times v)=0.

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