Prove que
de dois modos: primeiro calculando diretamente e segundo utilizando as propriedades de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando dois modos: (1) cálculo direto em coordenadas e (2) propriedade de ortogonalidade do produto vetorial. Vamos precisar das definições de produto escalar e produto vetorial em
.
Passo 2
Método 1 – cálculo direto. Escreva
Então
O produto escalar
é
Passo 3
Ainda no método direto, observe que ao expandir surgem termos que se cancelam:
Logo
De modo idêntico, para
obtém-se
cuja soma também se anula por cancelamentos, dando
Passo 4
Método 2 – usando propriedades do produto vetorial. Sabemos que
é um vetor perpendicular a ambos
e
. Em
, quando dois vetores são perpendiculares, seu produto escalar é zero.
Passo 5
Aplicando isso, como
temos
e como
temos