Verifique se cada aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a seguir, é uma transformação linear:
T(x, y)=(2 x, y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2x,\,y)
é transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de linearidade: preservação de soma e de escalar.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar \alpha, tivermos
T(u+v) = T(u) + T(v)
e
T(\alpha\,u) = \alpha\,T(u).

Passo 3

Verificamos a aditividade. Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
T(u+v) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(2(x_1+x_2),\,y_1+y_2\bigr) = (2x_1+2x_2,\;y_1+y_2)
e
T(u)+T(v) = (2x_1,y_1)+(2x_2,y_2) = (2x_1+2x_2,\;y_1+y_2).
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificamos a homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
T(\alpha\,u) = T(\alpha x,\;\alpha y) = \bigl(2(\alpha x),\;\alpha y\bigr) = (\alpha\cdot2x,\;\alpha\cdot y) = \alpha\,(2x,y) = \alpha\,T(u).

Passo 5

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

A aplicação T(x,y)=(2x,y) é transformação linear.

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