O caracteriza uma função como uma transformação linear? Exemplifique.

Passo 1

Resumindo, o enunciado pergunta quais condições uma função T\colon V\to W deve satisfazer para ser considerada transformação linear. Estamos em álgebra linear, lidando com espaços vetoriais sobre um corpo K, e usaremos as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

A primeira condição é a preservação de soma de vetores. Para quaisquer vetores u,v\in V, deve valer
T(u + v) \;=\; T(u) + T(v).
Isso garante que T respeite a estrutura aditiva do espaço vetorial.

Passo 3

A segunda condição é a preservação da multiplicação por escalar. Para todo vetor v\in V e todo escalar c\in K, deve valer
T(c\,v) \;=\; c\,T(v).
Essa propriedade assegura compatibilidade de T com a operação de escalares no espaço.

Passo 4

Portanto, T é linear se, e somente se, satisfaz simultaneamente
T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(c\,v)=c\,T(v)
para todos u,v\in V e todo c\in K.

Passo 5

Como exemplo, considere
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \quad T\bigl(\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ -1 & 0\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y\\\\ -\,x\\\\ 3y \end{pmatrix}.
Como a multiplicação por matriz distribui soma e fatoriza escalares, essa aplicação satisfaz \;T(u+v)=T(u)+T(v)\; e \;T(c\,v)=c\,T(v),
logo é uma transformação linear.

Resposta

Uma função T\colon V\to W é transformação linear se, e somente se, para todos u,v\in V e todo escalar c\in K vale:
T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(c\,v)=c\,T(v).
Por exemplo, a aplicação
T\bigl(\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ -1 & 0\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}
é uma transformação linear.

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