O caracteriza uma função como uma transformação linear? Exemplifique.
Passo 1
Resumindo, o enunciado pergunta quais condições uma função
deve satisfazer para ser considerada transformação linear. Estamos em álgebra linear, lidando com espaços vetoriais sobre um corpo
, e usaremos as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
A primeira condição é a preservação de soma de vetores. Para quaisquer vetores
, deve valer
Isso garante que
respeite a estrutura aditiva do espaço vetorial.
Passo 3
A segunda condição é a preservação da multiplicação por escalar. Para todo vetor
e todo escalar
, deve valer
Essa propriedade assegura compatibilidade de
com a operação de escalares no espaço.
Passo 4
Portanto,
é linear se, e somente se, satisfaz simultaneamente
para todos
e todo
.
Passo 5
Como exemplo, considere
Como a multiplicação por matriz distribui soma e fatoriza escalares, essa aplicação satisfaz
e
,
logo é uma transformação linear.
logo é uma transformação linear.
Resposta
Uma função
é transformação linear se, e somente se, para todos
e todo escalar
vale:
Por exemplo, a aplicação
é uma transformação linear.