Prove que a matriz da transformação cartesiana-cilíndrica, \tilde{T}(\varphi), é unitária. Ou seja, prove que seu determinante é igual a 1 e que sua inversa é igual a sua transposta.
\tilde{T}(\varphi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
\tilde{T}(\varphi)=\begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\[4pt] -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
e pede duas coisas: provar que (i) o determinante de \tilde{T}(\varphi) é igual a 1 e (ii) que a inversa de \tilde{T}(\varphi) é igual à sua transposta, isto é, \tilde{T}(\varphi)^{-1}=\tilde{T}(\varphi)^{\top}.]

Passo 2

Lembrando uma fórmula básica: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix}
valeu que o determinante é \det=\;ad-bc. Também usaremos que, para uma matriz 3\times3 que tem a última linha e coluna como 0,0,1 (ou seja, bloco superior-esquerdo 2\times2 e um 1 na posição (3,3)), o determinante da 3\times3 é igual ao determinante do bloco 2\times2 multiplicado por 1. Aqui podemos calcular usando expansão por cofatores sobre a terceira linha: só resta o determinante do bloco 2\times2.

Passo 3

Aplicando isso à \tilde{T}(\varphi), o determinante é o determinante do bloco 2\times2
\det\!\big(\tilde{T}(\varphi)\big)=\det\begin{bmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi\\[4pt] -\sin\varphi & \cos\varphi\end{bmatrix}.
Pelo fórmula do 2\times2,
\det\!\big(\tilde{T}(\varphi)\big)=\cos\varphi\cdot\cos\varphi - (\sin\varphi)\cdot(-\sin\varphi)=\cos^2\varphi+\sin^2\varphi.
Usando a identidade trigonométrica básica \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1, obtemos
\det\!\big(\tilde{T}(\varphi)\big)=1.]

Passo 4

Agora vamos calcular a transposta de \tilde{T}(\varphi). A transposta troca linhas por colunas, portanto
\tilde{T}(\varphi)^{\top}=\begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\[4pt] \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.]

Passo 5

Para mostrar que a inversa é a transposta, basta verificar que
\tilde{T}(\varphi)^{\top}\,\tilde{T}(\varphi)=I_{3},
pois se A^{\top}A=I então A^{-1}=A^{\top}. Vamos multiplicar as matrizes (fazendo a multiplicação bloco a bloco; o bloco 2\times2 principal é o produto do 2\times2 transposto pelo 2\times2 original, e a terceira linha/coluna garante o 1 na diagonal e zeros fora dela):
Calcule o bloco 2\times2:
\begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi\\[4pt] \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi\\[4pt] -\sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2\varphi+\sin^2\varphi & \cos\varphi\sin\varphi-\sin\varphi\cos\varphi\\[6pt] \sin\varphi\cos\varphi-\cos\varphi\sin\varphi & \sin^2\varphi+\cos^2\varphi \end{bmatrix}.
Usando \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1 e que \cos\varphi\sin\varphi-\sin\varphi\cos\varphi=0, o produto fica
\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix}.
As entradas envolvendo a terceira linha/coluna dão zeros fora da diagonal e 1 na posição (3,3). Portanto
\tilde{T}(\varphi)^{\top}\,\tilde{T}(\varphi)=I_{3}.]

Passo 6

Como \tilde{T}(\varphi)^{\top}\tilde{T}(\varphi)=I_{3}, segue que \tilde{T}(\varphi)^{-1}=\tilde{T}(\varphi)^{\top}. Juntando com o resultado do determinante, concluímos que a matriz é de determinante 1 e tem inversa igual à transposta.

Resposta

\det\!\big(\tilde{T}(\varphi)\big)=1
\tilde{T}(\varphi)^{-1}=\tilde{T}(\varphi)^{\top}

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