Prove que a matriz da transformação cartesiana-cilíndrica, \tilde{T}(\varphi), é unitária. Ou seja, prove que seu determinante é igual a 1 e que sua inversa é igual a sua transposta.
e pede duas coisas: provar que (i) o determinante de \tilde{T}(\varphi) é igual a 1 e (ii) que a inversa de \tilde{T}(\varphi) é igual à sua transposta, isto é, \tilde{T}(\varphi)^{-1}=\tilde{T}(\varphi)^{\top}.]
Passo 2
Lembrando uma fórmula básica: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix}
valeu que o determinante é \det=\;ad-bc. Também usaremos que, para uma matriz 3\times3 que tem a última linha e coluna como 0,0,1 (ou seja, bloco superior-esquerdo 2\times2 e um 1 na posição (3,3)), o determinante da 3\times3 é igual ao determinante do bloco 2\times2 multiplicado por 1. Aqui podemos calcular usando expansão por cofatores sobre a terceira linha: só resta o determinante do bloco 2\times2.
Passo 3
Aplicando isso à \tilde{T}(\varphi), o determinante é o determinante do bloco 2\times2
pois se A^{\top}A=I então A^{-1}=A^{\top}. Vamos multiplicar as matrizes (fazendo a multiplicação bloco a bloco; o bloco 2\times2 principal é o produto do 2\times2 transposto pelo 2\times2 original, e a terceira linha/coluna garante o 1 na diagonal e zeros fora dela):
Como \tilde{T}(\varphi)^{\top}\tilde{T}(\varphi)=I_{3}, segue que \tilde{T}(\varphi)^{-1}=\tilde{T}(\varphi)^{\top}. Juntando com o resultado do determinante, concluímos que a matriz é de determinante 1 e tem inversa igual à transposta.