Prove que:
Uma matriz A e sua transposta
possuem os mesmos autovalores.
Uma matriz A e sua transposta
Passo 1
O enunciado pede para provar que uma matriz
e a sua transposta
possuem os mesmos autovalores. Vou assumir que
é uma matriz quadrada de ordem
sobre um corpo (por exemplo
ou
), porque autovalores só fazem sentido nesse contexto.
Informações/objetivo:
- Dado: matriz quadrada
. - Provar: o conjunto de autovalores de
coincide com o conjunto de autovalores de . Idealmente queremos também comentar sobre multiplicidades algébricas e geométricas.
Passo 2
Lembrando a definição que vamos usar (passo-a-passo, sem pular):
- Uma escala
é autovalor de se existe vetor não-nulo tal que . - Equivalente (mais prática para provar igualdade de autovalores):
é autovalor de se, e somente se, o polinômio característico de satisfaz , onde
Ou seja, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Portanto, para mostrar que
e
têm os mesmos autovalores basta mostrar que os seus polinômios característicos são iguais:
Passo 3
Vou usar uma propriedade básica e poderosa do determinante:
- Para qualquer matriz quadrada
vale
Explicação curta e intuitiva (sem jargão técnico pesado): o determinante pode ser escrito pela soma sobre todas as permutações
:
Na transposta os elementos ficam trocados de posição, então
Fazendo a mudança de índice
e usando
, vemos que as somas são idênticas, logo
.
Observação prática e útil: essa propriedade vale para qualquer e será aplicada abaixo com
.
Observação prática e útil: essa propriedade vale para qualquer
Passo 4
Agora aplico essa propriedade ao polinômio característico:
Tomando transposta dentro do determinante e usando
e
(porque
e
é escalar), obtemos
Portanto os polinômios característicos de
e
coincidem coeficiente a coeficiente. Como os autovalores são exatamente as raízes desses polinômios, concluímos que
e
têm os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades algébricas.
Passo 5
Comentário adicional (útil para a prova): sobre multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio).
- A multiplicidade geométrica de
é , isto é, a nulidade da matriz . - Como
para toda matriz (posto linha = posto coluna), resulta que (pela fórmula de posto-nulidade). Aplicando a obtemos
Logo as multiplicidades geométricas também coincidem para
e
. Em palavras: não só os autovalores e suas multiplicidades algébricas são iguais, como as dimensões dos espaços próprios também são iguais.
Passo 6
Recapitulando de forma direta e prática (o que você precisa guardar para a prova):
- Defina
. - Use
para . - Conclua
, logo mesmos autovalores (mesmas multiplicidades algébricas). - Use igualdade de posto para concluir igualdade das multiplicidades geométricas.
Você chegou até aqui — manda ver na prova, isso cai bastante e essa prova é curtinha e limpa!
Resposta
As matrizes
e
têm os mesmos autovalores (com as mesmas multiplicidades algébricas e geométricas).