Prove que:
Uma matriz A e sua transposta A^{t} possuem os mesmos autovalores.

Passo 1

O enunciado pede para provar que uma matriz A e a sua transposta A^{T} possuem os mesmos autovalores. Vou assumir que A é uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}), porque autovalores só fazem sentido nesse contexto.
Informações/objetivo:
  • Dado: matriz quadrada A\in\mathbb{K}^{n\times n}.
  • Provar: o conjunto de autovalores de A coincide com o conjunto de autovalores de A^{T}. Idealmente queremos também comentar sobre multiplicidades algébricas e geométricas.

Passo 2

Lembrando a definição que vamos usar (passo-a-passo, sem pular):
  • Uma escala \lambda\in\mathbb{K} é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que A v=\lambda v.
  • Equivalente (mais prática para provar igualdade de autovalores): \lambda é autovalor de A se, e somente se, o polinômio característico de A satisfaz p_A(\lambda)=0, onde
p_A(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr).
Ou seja, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Portanto, para mostrar que A e A^T têm os mesmos autovalores basta mostrar que os seus polinômios característicos são iguais:
p_A(\lambda)=p_{A^T}(\lambda).

Passo 3

Vou usar uma propriedade básica e poderosa do determinante:
  • Para qualquer matriz quadrada M vale
\det(M^T)=\det(M).
Explicação curta e intuitiva (sem jargão técnico pesado): o determinante pode ser escrito pela soma sobre todas as permutações \sigma\in S_n:
\det(M)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n m_{i,\sigma(i)}.
Na transposta os elementos ficam trocados de posição, então
\det(M^T)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n m_{\sigma(i),i}.
Fazendo a mudança de índice \tau=\sigma^{-1} e usando \operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\tau), vemos que as somas são idênticas, logo \det(M^T)=\det(M).
Observação prática e útil: essa propriedade vale para qualquer M e será aplicada abaixo com M=A-\lambda I.

Passo 4

Agora aplico essa propriedade ao polinômio característico:
p_A(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr).
Tomando transposta dentro do determinante e usando \det(M^T)=\det(M) e (A-\lambda I)^T=A^T-\lambda I (porque I^T=I e \lambda é escalar), obtemos
p_A(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=\det\bigl((A-\lambda I)^T\bigr)=\det\bigl(A^T-\lambda I\bigr)=p_{A^T}(\lambda).
Portanto os polinômios característicos de A e A^T coincidem coeficiente a coeficiente. Como os autovalores são exatamente as raízes desses polinômios, concluímos que A e A^T têm os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades algébricas.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): sobre multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio).
  • A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim\ker(A-\lambda I), isto é, a nulidade da matriz A-\lambda I.
  • Como \operatorname{rank}(M)=\operatorname{rank}(M^T) para toda matriz M (posto linha = posto coluna), resulta que \dim\ker(M)=\dim\ker(M^T) (pela fórmula de posto-nulidade). Aplicando a M=A-\lambda I obtemos
\dim\ker\bigl(A-\lambda I\bigr)=\dim\ker\bigl((A-\lambda I)^T\bigr)=\dim\ker\bigl(A^T-\lambda I\bigr).
Logo as multiplicidades geométricas também coincidem para A e A^T. Em palavras: não só os autovalores e suas multiplicidades algébricas são iguais, como as dimensões dos espaços próprios também são iguais.

Passo 6

Recapitulando de forma direta e prática (o que você precisa guardar para a prova):
  • Defina p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
  • Use \det(M^T)=\det(M) para M=A-\lambda I.
  • Conclua p_A(\lambda)=p_{A^T}(\lambda), logo mesmos autovalores (mesmas multiplicidades algébricas).
  • Use igualdade de posto para concluir igualdade das multiplicidades geométricas.
Você chegou até aqui — manda ver na prova, isso cai bastante e essa prova é curtinha e limpa!

Resposta

As matrizes A e A^T têm os mesmos autovalores (com as mesmas multiplicidades algébricas e geométricas).

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