Usando as propriedades adequadas, obtenha os limites indicados. Nas letras c), d) e e), os limites se referem a um dos ramos da função raiz.
.
Passo 1
O exercício pede calcular o valor do limite
Informações dadas: a variável é
(complexa), o numerador é
e o denominador é
. O ponto de aproximação é
. Nada mais foi pedido além desse limite.
Passo 2
Primeira verificação útil: avaliar o numerador no ponto
para ver se ocorre uma indeterminação. Calculo
Vamos calcular passo a passo:
. Como
, temos
Portanto
Como o denominador em
também vale
, a expressão tem uma forma do tipo
(indeterminação) em
. Isso indica que provavelmente existe um fator comum
no numerador que podemos cancelar.
Passo 3
Explicação didática (por que fazer isso): quando tanto o numerador quanto o denominador se anulam num ponto, geralmente podemos fatorar e simplificar a expressão — isso remove a indeterminação. Depois de simplificar, a função resultante é uma função polinomial (ou racional sem esse fator), que é contínua no ponto, então o limite será simplesmente o valor dessa função simplificada em
.
Passo 4
Vamos dividir o polinômio
por
para encontrar o quociente quadrático. Fazemos a divisão algébrica passo a passo.
Dividindo
- Primeiro termo do quociente:
, pois .
Subtraindo desse produto do numerador obtemos resto
Passo 5
- Próximo termo do quociente:
, pois .
Como, temos . Então esse produto é .
Subtraindo do resto anterior:
Passo 6
- Último termo do quociente:
, pois .
Subtraindo obtemos resto zero. Logo a divisão é exata e o quociente é
Passo 7
Conclusão intermediária: para
podemos escrever
A função do lado direito é um polinômio (expressão quadrática) e, portanto, contínua em todo
. Assim o limite quando
é o valor desse polinômio em
.
Passo 8
Agora avaliamos o quociente em
:
Calculemos termo a termo. Primeiro,
. Segundo,
. Somando com o termo constante
obtemos
Passo 9
Portanto o limite pedido vale
. Força aí — você já sabe a técnica: quando aparecer
com polinômios complexos, fatorar/dividir e avaliar o quociente simplificado.