Usando as propriedades adequadas, obtenha os limites indicados. Nas letras c), d) e e), os limites se referem a um dos ramos da função raiz.
\lim _{z \rightarrow-2 i} \frac{z^{3}-8 i}{z+2 i}.

Passo 1

O exercício pede calcular o valor do limite
\lim_{z\rightarrow -2i} \frac{z^{3}-8i}{z+2i}.
Informações dadas: a variável é z (complexa), o numerador é z^{3}-8i e o denominador é z+2i. O ponto de aproximação é z=-2i. Nada mais foi pedido além desse limite.

Passo 2

Primeira verificação útil: avaliar o numerador no ponto z=-2i para ver se ocorre uma indeterminação. Calculo
(-2i)^{3}-8i.
Vamos calcular passo a passo: (-2i)^{3}=(-2)^{3}\,i^{3}=-8\,i^{3}. Como i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i, temos
(-2i)^{3}=-8(-i)=8i.
Portanto
(-2i)^{3}-8i=8i-8i=0.
Como o denominador em z=-2i também vale -2i+2i=0, a expressão tem uma forma do tipo \tfrac{0}{0} (indeterminação) em z=-2i. Isso indica que provavelmente existe um fator comum (z+2i) no numerador que podemos cancelar.

Passo 3

Explicação didática (por que fazer isso): quando tanto o numerador quanto o denominador se anulam num ponto, geralmente podemos fatorar e simplificar a expressão — isso remove a indeterminação. Depois de simplificar, a função resultante é uma função polinomial (ou racional sem esse fator), que é contínua no ponto, então o limite será simplesmente o valor dessa função simplificada em z=-2i.

Passo 4

Vamos dividir o polinômio z^{3}-8i por (z+2i) para encontrar o quociente quadrático. Fazemos a divisão algébrica passo a passo.
Dividindo
\frac{z^{3}+0\cdot z^{2}+0\cdot z-8i}{z+2i}
  1. Primeiro termo do quociente: z^{2}, pois z^{2}\cdot(z+2i)=z^{3}+2i z^{2}.
    Subtraindo desse produto do numerador obtemos resto
(z^{3}+0\cdot z^{2}+\cdots)- (z^{3}+2i z^{2}) = -2i z^{2}+0\cdot z-8i.

Passo 5

  1. Próximo termo do quociente: -2i z, pois -2i z\cdot(z+2i) = -2i z^{2} -4 i^{2} z.
    Como i^{2}=-1, temos -4 i^{2} z = -4(-1)z = 4z. Então esse produto é -2i z^{2}+4z.
    Subtraindo do resto anterior:
(-2i z^{2}+0\cdot z-8i) - (-2i z^{2}+4z) = -4z -8i.

Passo 6

  1. Último termo do quociente: -4, pois -4\cdot(z+2i) = -4z -8i.
    Subtraindo obtemos resto zero. Logo a divisão é exata e o quociente é
z^{2}-2i z -4.

Passo 7

Conclusão intermediária: para z\neq -2i podemos escrever
\frac{z^{3}-8i}{z+2i} = z^{2}-2i z -4.
A função do lado direito é um polinômio (expressão quadrática) e, portanto, contínua em todo \mathbb{C}. Assim o limite quando z\to -2i é o valor desse polinômio em z=-2i.

Passo 8

Agora avaliamos o quociente em z=-2i:
(-2i)^{2} -2i\cdot(-2i) -4.
Calculemos termo a termo. Primeiro, (-2i)^{2}=4 i^{2}=4(-1)=-4. Segundo, -2i\cdot(-2i)=4 i^{2}=4(-1)=-4. Somando com o termo constante -4 obtemos
-4 + (-4) -4 = -12.

Passo 9

Portanto o limite pedido vale -12. Força aí — você já sabe a técnica: quando aparecer \tfrac{0}{0} com polinômios complexos, fatorar/dividir e avaliar o quociente simplificado.

Resposta

-12

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