Prove que se |f(z)| <= M num disco perfurado z in C:|z-z0| e se lim z z0 g(z)=0, então
lim z z0 f(z) g(z)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é limitada por M num disco perfurado em torno de z₀ e g(z)→0 quando z→z₀, então o produto f(z)g(z) também tende a 0. O conteúdo usado é o conceito de limite de funções complexas e um argumento ε–δ.

Passo 2

Como sabemos que limₓ→z₀ g(z)=0, dado ε>0 podemos usar a definição de limite para g. Em particular, existe δ>0 tal que sempre que 0<|z−z₀|<δ temos |g(z)|<ε/M.
Sabemos também que |f(z)|≤M em todo o disco perfurado |z−z₀|<r. Dessa forma, quando 0<|z−z₀|<min(r,δ) obtemos
|f(z)g(z)|<= M,|g(z)|

Passo 3

Isso mostra que, para qualquer ε>0, existe raio min(r,δ) garantindo |f(z)g(z)|<ε sempre que 0<|z−z₀|<min(r,δ).
Pelo critério ε–δ de limite em ℂ concluímos que limₓ→z₀ f(z)g(z)=0.

Resposta

0

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