Representando um número complexo em forma polar z=r(cos (theta)+i sen(theta)), podemos escrever funções de z em coordenadas polares:
f(z)=u(r, theta)+i v(r, theta)
Usando isso, descreva a parte real e a parte imaginária das funções abaixo em coordenadas polares (r, theta) :
f(z)=z^3,

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função f(z)=z³ em coordenadas polares, separando a parte real u(r,θ) e a imaginária v(r,θ). O conteúdo aqui é representação de números complexos em forma polar e uso do Teorema de Moivre.

Passo 2

Lembrando que, se z=r(\cos(θ)+i\operatorname{sen}(θ)), o Teorema de Moivre diz que zⁿ=rⁿ[\cos(nθ)+i\operatorname{sen}(nθ)].

Passo 3

Aplicando n=3, temos:
f(z)=z^3=r^3l[cos(3theta)+isen(3theta)r]
Nessa expressão, a parte real é o termo com cos e a imaginária é o termo com sen. Portanto extraímos u(r,θ)=r³cos(3θ) e v(r,θ)=r³sen(3θ).

Resposta

u(r,\theta)=r^3\cos(3\theta) e v(r,\theta)=r^3\operatorname{sen}(3\theta)

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