Representando um número complexo em forma polar
, podemos escrever funções de
em coordenadas polares:
Usando isso, descreva a parte real e a parte imaginária das funções abaixo em coordenadas polares
:
,
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função f(z)=z³ em coordenadas polares, separando a parte real u(r,θ) e a imaginária v(r,θ). O conteúdo aqui é representação de números complexos em forma polar e uso do Teorema de Moivre.
Passo 2
Lembrando que, se z=r(\cos(θ)+i\operatorname{sen}(θ)), o Teorema de Moivre diz que zⁿ=rⁿ[\cos(nθ)+i\operatorname{sen}(nθ)].
Passo 3
Aplicando n=3, temos:
Nessa expressão, a parte real é o termo com
e a imaginária é o termo com
. Portanto extraímos u(r,θ)=r³cos(3θ) e v(r,θ)=r³sen(3θ).
Resposta
u(r,\theta)=r^3\cos(3\theta) e v(r,\theta)=r^3\operatorname{sen}(3\theta)