Prove que se |\mathrm{a}|<1, temos:
1+a \cos \theta+a^{2} \cos 2 \theta+a^{3} \cos 3 \theta+\cdots=\frac{1-a \cos \theta}{1-2 a \cos \theta+a^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se |a|<1, então a série
S \;=\; 1 + a\cos\theta + a^{2}\cos2\theta + a^{3}\cos3\theta + \cdots
converge e tem soma
\frac{1 - a\cos\theta}{1 - 2a\cos\theta + a^{2}}.
O conteúdo principal é usar a representação de \cos n\theta em termos de exponenciais complexas e a fórmula da soma da série geométrica.

Passo 2

Escrevemos \cos n\theta como
\cos n\theta \;=\;\frac{e^{in\theta} + e^{-in\theta}}{2}.
Portanto,
S \;=\;\sum_{n=0}^\infty a^n\cos n\theta \;=\;\frac12\sum_{n=0}^\infty \bigl(a^n e^{in\theta} + a^n e^{-in\theta}\bigr) \;=\;\frac12\Bigl(\sum_{n=0}^\infty (a e^{i\theta})^n + \sum_{n=0}^\infty (a e^{-i\theta})^n\Bigr).

Passo 3

Como |a|<1 implica |a e^{\pm i\theta}|<1, podemos usar a soma da série geométrica:
\sum_{n=0}^\infty (a e^{i\theta})^n \;=\;\frac{1}{1 - a e^{i\theta}}, \qquad \sum_{n=0}^\infty (a e^{-i\theta})^n \;=\;\frac{1}{1 - a e^{-i\theta}}.
Assim,
S \;=\;\frac12\Bigl(\frac{1}{1 - a e^{i\theta}} + \frac{1}{1 - a e^{-i\theta}}\Bigr).

Passo 4

Colocamos sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{1 - a e^{i\theta}} + \frac{1}{1 - a e^{-i\theta}} =\frac{(1 - a e^{-i\theta}) + (1 - a e^{i\theta})}{(1 - a e^{i\theta})(1 - a e^{-i\theta})}.
No numerador:
(1 - a e^{-i\theta}) + (1 - a e^{i\theta}) =2 - a\bigl(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\bigr) =2 - 2a\cos\theta.
No denominador:
(1 - a e^{i\theta})(1 - a e^{-i\theta}) =1 - a\bigl(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\bigr) + a^2 =1 - 2a\cos\theta + a^2.
Logo,
S = \frac12\;\frac{2 - 2a\cos\theta}{1 - 2a\cos\theta + a^2} =\frac{1 - a\cos\theta}{1 - 2a\cos\theta + a^2}.

Resposta

1 + a\cos\theta + a^{2}\cos2\theta + a^{3}\cos3\theta + \cdots = \frac{1 - a\cos\theta}{1 - 2a\cos\theta + a^{2}}.

Exercícios relacionados