Exprimir as funções abaixo na forma u(x, y)+i v(x, y), onde u e v são reais:
\frac{1}{1-z}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(z)=\frac{1}{1-z}
na forma u(x,y)+i\,v(x,y), onde z=x+iy e u,v são reais. Para isso, vamos substituir z=x+iy e usar o conjugado do denominador.

Passo 2

Substituindo z=x+iy em f(z), obtemos
f(z)=\frac{1}{1-(x+iy)}=\frac{1}{(1-x)-i\,y}.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por (1-x)+i\,y para eliminar a parte imaginária do denominador:
f(z) =\frac{1}{(1-x)-i\,y}\cdot\frac{(1-x)+i\,y}{(1-x)+i\,y} =\frac{(1-x)+i\,y}{(1-x)^2+y^2}.

Passo 4

Agora separamos a parte real e a parte imaginária:
u(x,y)=\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2}, \qquad v(x,y)=\frac{y}{(1-x)^2+y^2}.

Resposta

\frac{1}{1-z} =\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2} +i\,\frac{y}{(1-x)^2+y^2}.

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