Exprimir as funções abaixo na forma u(x, y)+i v(x, y), onde u e v são reais:
z^{3}

Passo 1

O enunciado pede para escrever z^3 na forma
u(x,y) + i\,v(x,y),
onde z = x + i y. Vamos usar álgebra de números complexos e a expansão pelo binômio de Newton.

Passo 2

Primeiro calculamos
(z)^2 = (x + i y)^2 = x^2 + 2\,i x y + (i y)^2 = x^2 - y^2 + i\,2xy.

Passo 3

Em seguida multiplicamos esse resultado por z = x + i y:
z^3 = (x^2 - y^2 + i\,2xy)\,(x + i y).
Expandindo:
(x^2 - y^2)\,x + (x^2 - y^2)\,i y + (i\,2xy)\,x + (i\,2xy)\,i y.
Isso é
x^3 - x y^2 + i\,x^2 y - i\,y^3 + i\,2x^2y -2\,x y^2.

Passo 4

Agora agrupamos as partes real e imaginária. A parte real é
x^3 - x y^2 - 2\,x y^2 = x^3 - 3x y^2,
e a parte imaginária (o coeficiente de i) é
x^2 y + 2x^2 y - y^3 = 3x^2 y - y^3.

Resposta

z^3 = (x^3 - 3x y^2) \;+\; i\,(3x^2 y - y^3),
logo
u(x,y) = x^3 - 3x y^2, \qquad v(x,y) = 3x^2 y - y^3.

Exercícios relacionados