Prove que, se
forem números primos distintos, entāo
é irracional se algum dos expoentes
for impar.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados primos distintos
e expoentes inteiros não negativos
, o número
é irracional sempre que pelo menos um dos expoentes
for ímpar.
Conteúdo: fatoração única em e propriedades de expoentes em quadrados perfeitos.
Conteúdo: fatoração única em
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros coprimos
e
tais que
Elevando ao quadrado, obtemos
Passo 3
Use a fatoração em primos de cada termo:
- Na fatoração de
, cada primo aparece com expoente par (porque ). - Em
, o expoente de é
onde
é o expoente de
na fatoração de
. Note que
é par, logo
tem a mesma paridade de
.
Passo 4
Comparando as duas escritas de
, concluímos que, para cada primo
, o expoente de
em
é par, enquanto na outra expressão é
. Se algum
for ímpar, então
seria ímpar, contradizendo o fato de que todo expoente em
é par.
Resposta
Logo, não existe racional
que satisfaça
quando algum é ímpar. Portanto
quando algum
é irracional sempre que pelo menos um dos
for ímpar.