Prove que, se p1, ldots, pr forem números primos distintos, entāo raizp1^s1 ldots pr^sr é irracional se algum dos expoentes s1, ldots, sr for impar.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados primos distintos p1,dots,pr e expoentes inteiros não negativos s1,dots,sr, o número
raizp1^s1 cdots pr^sr
é irracional sempre que pelo menos um dos expoentes si for ímpar.
Conteúdo: fatoração única em Z e propriedades de expoentes em quadrados perfeitos.

Passo 2

Suponha, por contradição, que
raizp1^s1 cdots pr^sr
seja racional. Então existem inteiros coprimos a e b>0 tais que
raizp1^s1 cdots pr^sr = ab
Elevando ao quadrado, obtemos
p1^s1 cdots pr^sr = a^2b^2 Longrightarrow a^2 = l(p1^s1 cdots pr^srr),b^2

Passo 3

Use a fatoração em primos de cada termo:
  • Na fatoração de a^2, cada primo aparece com expoente par (porque expoente de p em a^2 = 2cdotexpoente de p em a).
  • Em l(p1^s1 cdots pr^srr)b^2, o expoente de pi é
si + 2,ti,
onde ti é o expoente de pi na fatoração de b. Note que 2,ti é par, logo si+2ti tem a mesma paridade de si.

Passo 4

Comparando as duas escritas de a^2, concluímos que, para cada primo pi, o expoente de pi em a^2 é par, enquanto na outra expressão é si+2ti. Se algum si for ímpar, então si+2ti seria ímpar, contradizendo o fato de que todo expoente em a^2 é par.

Resposta

Logo, não existe racional tfracab que satisfaça
raizp1^s1 cdots pr^sr = tfracab
quando algum si é ímpar. Portanto
raizp1^s1 cdots pr^sr
é irracional sempre que pelo menos um dos si for ímpar.

Exercícios relacionados