Prove que um número N é quadrado perfeito se e somente se todos os fatores primos de N comparecem em N com expoentes pares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro positivo N é um quadrado perfeito exatamente quando, na fatoração de N em primos, todos os expoentes são pares. Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante a fatoração única
N = p1^e1 p2^e2 cdots pk^ek,
onde pi são primos distintos e eiinN.

Passo 2

(Prova de “ Rightarrow”) Suponha que N seja um quadrado perfeito, ou seja, exista ainN tal que
N = a^2
Fatore a em primos:
a = p1^f1 p2^f2 cdots pk^fk
Então
a^2 = p1^2f1 p2^2f2 cdots pk^2fk
Pela unicidade da fatoração, essa expressão é exatamente a fatoração de N, de modo que cada expoente de N é ei = 2fi, ou seja, é par.

Passo 3

(Prova de “ Leftarrow”) Agora suponha que na fatoração
N = p1^e1 p2^e2 cdots pk^ek
todos os ei sejam pares. Então podemos escrever ei = 2gi com giinN. Defina o número
a = p1^g1 p2^g2 cdots pk^gk
Logo
a^2 = p1^2g1 p2^2g2 cdots pk^2gk = p1^e1 p2^e2 cdots pk^ek = N
Isto mostra que N é o quadrado de a, logo é quadrado perfeito.

Resposta

Um inteiro N é quadrado perfeito se e somente se, na sua fatoração em primos
N = p1^e1 p2^e2 cdots pk^ek,
todos os expoentes e1,e2,dots,ek são pares.

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