Prove que um número
é quadrado perfeito se e somente se todos os fatores primos de
comparecem em
com expoentes pares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um inteiro positivo
é um quadrado perfeito exatamente quando, na fatoração de
em primos, todos os expoentes são pares. Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante a fatoração única
onde
são primos distintos e
.
Passo 2
(Prova de “
”) Suponha que
seja um quadrado perfeito, ou seja, exista
tal que
Fatore
em primos:
Então
Pela unicidade da fatoração, essa expressão é exatamente a fatoração de
, de modo que cada expoente de
é
, ou seja, é par.
Passo 3
(Prova de “
”) Agora suponha que na fatoração
todos os
sejam pares. Então podemos escrever
com
. Defina o número
Logo
Isto mostra que
é o quadrado de
, logo é quadrado perfeito.
Resposta
Um inteiro
é quadrado perfeito se e somente se, na sua fatoração em primos
todos os expoentes
são pares.