Considere a matriz A=(ccccc1 & 2 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 3 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0) e B=(ccccc2 & 7 & -3 & 4 & 2 1 & 3 & -1 & 1 & 2 1 & 2 & 0 & 1 & 2 2 & 6 & -2 & 3 & 3). Verifique se A e B são equivalentes por linha. A e B são equivalentes?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A= 1 & 2 & 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 3 -1 & 1 & -3 & 1 & -4 0 & 1 & -1 & 0 & 0 e B= 2 & 7 & -3 & 4 & 2 1 & 3 & -1 & 1 & 2 1 & 2 & 0 & 1 & 2 2 & 6 & -2 & 3 & 3
são equivalentes por linha. Dois matrizes são equivalentes por linha se, e só se, tiverem a mesma forma reduzida por linhas (RREF). Vamos calcular a RREF de A e de B e comparar.

Passo 2

Cálculo da RREF de A por Gauss–Jordan:
  1. Pivot em ,(1,1). Usa-se
    ,R2 R2-R1 e ,R3 R3+R1
    para zerar abaixo de a11.
  2. Pivot em ,(2,2). Normaliza-se R2 e elimina-se a coluna 2 em R1,R3,R4.
  3. Pivot em ,(3,4). Normaliza-se R3 e elimina-se a coluna 4 em R1,R2,R4.
Ao fim dessas operações obtemos
RREF(A) = 1 & 0 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Cálculo da RREF de B por Gauss–Jordan:
  1. Troca-se R1rightarrow R2 para ter 1 em (1,1). Em seguida, usa-se
    ,R2 R2-2R1,;R3 R3-R1,;R4 R4-2R1
    para zerar abaixo de b11.
  2. Pivot em ,(2,2). Normaliza-se R2 e elimina-se a coluna 2 em R1,R3.
  3. Pivot em ,(3,4). Troca-se de lugar as linhas se necessário, normaliza-se R3 e elimina-se a coluna 4 em R1,R2,R4.
O resultado final é
RREF(B) = 1 & 0 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Como RREF(A)=RREF(B), concluímos que A e B são equivalentes por linha.

Resposta

Sim, A e B são equivalentes por linha.

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