Prove que se uma partícula de carga elétrica q e massa m, entrar em uma região com campo magnético uniforme \vec{B}, com uma velocidade inicial V_{0} perpendicular ao campo, a mesma executará um movimento circular e uniforme de raio
R=\frac{m V_{0}}{q B}
Dado que
\vec{F}=q \vec{E}+q \vec{V} \times \vec{B}
Atenção, näo devemos assumir a priori que o movimento é MCU, devemos prová-lo!

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: \n
  • Temos uma partícula de carga elétrica q e massa m. \n
  • A partícula entra numa região onde existe um campo magnético uniforme \vec{B}. \n
  • A velocidade inicial da partícula é \vec{V}_{0} e é perpendicular ao campo: \vec{V}_{0}\perp\vec{B}. \n
  • Não é mencionado campo elétrico na região, então assumimos \vec{E}=\vec{0} (se houvesse \vec{E}, haveria força adicional e a conclusão mudaria). \n
O que se pede: provar, sem assumir a priori, que o movimento é circular uniforme e que o raio é R=\frac{m V_{0}}{q B}.

Passo 2

Escrever a equação do movimento e interpretar a força magnética: \n
Com \vec{E}=\vec{0}, a força sobre a carga é apenas a força magnética, então a equação de movimento é
m\frac{d\vec{v}}{dt}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Aqui \vec{v}(t) é a velocidade em cada instante. A operação \times é o produto vetorial: \vec{v}\times\vec{B} é um vetor perpendicular a \vec{v} e a \vec{B}, e seu módulo é |\vec{v}\times\vec{B}|=vB\sin\theta, com \theta o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.

Passo 3

Mostrar que a norma da velocidade é constante (ou seja, a rapidez não muda): \n
Tome o produto escalar de ambos os lados da equação de movimento por \vec{v}:
m\,\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}=q\,\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B}).
O lado direito é sempre zero porque o produto escalar de um vetor com um produto vetorial que contém o mesmo vetor é nulo: \vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B})=0. Portanto
m\,\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}=0.
Mas \vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}=\tfrac{1}{2}\frac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v})=\tfrac{1}{2}\frac{d}{dt}(v^{2}). Logo
\frac{d}{dt}(v^{2})=0 \quad\Rightarrow\quad v(t)=\text{const}=V_{0}.
Conclusão: a rapidez é constante e igual a V_{0}. Isso já mostra uniformidade no sentido de rapidez constante; falta analisar a direção para concluir que é movimento circular.

Passo 4

Escolher um sistema de coordenadas conveniente e decompor o problema: \n
Como \vec{B} é uniforme e \vec{V}_{0}\perp\vec{B}, podemos escolher o eixo z na direção de \vec{B}. Ou seja escolhemos
\vec{B}=B\hat{k},
com B constante. Tomamos a velocidade inicial ao longo do eixo x:
\vec{v}(0)=V_{0}\hat{i}.
Escrevemos a velocidade geral como
\vec{v}(t)=v_{x}(t)\hat{i}+v_{y}(t)\hat{j}+v_{z}(t)\hat{k}.

Passo 5

Calcular o produto vetorial e obter as equações para as componentes: \n
Calcule
\vec{v}\times\vec{B}=(v_{x}\hat{i}+v_{y}\hat{j}+v_{z}\hat{k})\times(B\hat{k}) = B\big(v_{y}\hat{i}-v_{x}\hat{j}\big),
pois \hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}, \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i} e \hat{k}\times\hat{k}=\vec{0}. Substituindo na equação de movimento obtemos, componente a componente,
m\dot{v}_{x}=qB\,v_{y},
m\dot{v}_{y}=-qB\,v_{x},
m\dot{v}_{z}=0.
Como v_{z}(0)=0 (velocidade inicial perpendicular a \vec{B}), segue v_{z}(t)=0 para todo t. Assim o movimento fica confinado ao plano xy.

Passo 6

Resolver as equações para v_{x}(t) e v_{y}(t): \n
Diferenciando a primeira equação:
m\ddot{v}_{x}=qB\,\dot{v}_{y}.
Substituindo \dot v_{y} da segunda equação \dot v_{y}=-(qB/m)v_{x}, obtemos
\ddot{v}_{x}=-\left(\frac{qB}{m}\right)^{2}v_{x}.
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples. Defina \omega=\dfrac{qB}{m}. A solução que satisfaz as condições iniciais v_{x}(0)=V_{0} e v_{y}(0)=0 é
v_{x}(t)=V_{0}\cos(\omega t),
v_{y}(t)=-V_{0}\sin(\omega t).
Verifique rapidamente que v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}=V_{0}^{2}, compatível com o passo anterior.

Passo 7

Integrar as velocidades para obter a trajetória no plano e identificar que é uma circunferência: \n
Integramos \dot{x}=v_{x}, \dot{y}=v_{y} com condições x(0)=0, y(0)=0 (escolha conveniente de origem). Isso dá
x(t)=\int_{0}^{t}V_{0}\cos(\omega s)\,ds=\frac{V_{0}}{\omega}\sin(\omega t),
y(t)=\int_{0}^{t}-V_{0}\sin(\omega s)\,ds=\frac{V_{0}}{\omega}\big(\cos(\omega t)-1\big).
Agora calcule
\bigg(x(t)\bigg)^{2}+\bigg(y(t)+\frac{V_{0}}{\omega}\bigg)^{2} =\left(\frac{V_{0}}{\omega}\right)^{2}\big(\sin^{2}\omega t+\cos^{2}\omega t\big) =\left(\frac{V_{0}}{\omega}\right)^{2}.
Isso é a equação de uma circunferência de raio V_{0}/\omega. Portanto a trajetória é circular no plano perpendicular a \vec{B}. A rapidez é constante (passo 3), logo o movimento é uniforme ao longo dessa circunferência.

Passo 8

Expressar o raio em termos das grandezas dadas e comentar o sinal: \n
Como \omega=\dfrac{qB}{m}, o raio da circunferência é
R=\frac{V_{0}}{\omega}=\frac{V_{0}}{qB/m}=\frac{mV_{0}}{qB}.
Observação física importante: se q>0, a partícula gira num sentido (por exemplo anti-horário) e se q<0 ela gira no sentido oposto; o módulo do raio depende de |q|, portanto muitas vezes escrevemos R=\dfrac{mV_{0}}{|q|B}. A fórmula acima com q funciona se você tomar em conta o sinal na direção de rotação.

Resposta

R=\frac{mV_{0}}{qB}

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