Prove que se uma partícula de carga elétrica
e massa
, entrar em uma região com campo magnético uniforme
, com uma velocidade inicial
perpendicular ao campo, a mesma executará um movimento circular e uniforme de raio
Dado que
Atenção, näo devemos assumir a priori que o movimento é MCU, devemos prová-lo!
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: \n
- Temos uma partícula de carga elétrica
e massa . \n - A partícula entra numa região onde existe um campo magnético uniforme
. \n - A velocidade inicial da partícula é
e é perpendicular ao campo: . \n - Não é mencionado campo elétrico na região, então assumimos
(se houvesse , haveria força adicional e a conclusão mudaria). \n
O que se pede: provar, sem assumir a priori, que o movimento é circular uniforme e que o raio é
Passo 2
Escrever a equação do movimento e interpretar a força magnética: \n
Com , a força sobre a carga é apenas a força magnética, então a equação de movimento é
Com
Aqui
é a velocidade em cada instante. A operação
é o produto vetorial:
é um vetor perpendicular a
e a
, e seu módulo é
, com
o ângulo entre
e
.
Passo 3
Mostrar que a norma da velocidade é constante (ou seja, a rapidez não muda): \n
Tome o produto escalar de ambos os lados da equação de movimento por :
Tome o produto escalar de ambos os lados da equação de movimento por
O lado direito é sempre zero porque o produto escalar de um vetor com um produto vetorial que contém o mesmo vetor é nulo:
. Portanto
Mas
. Logo
Conclusão: a rapidez é constante e igual a
. Isso já mostra uniformidade no sentido de rapidez constante; falta analisar a direção para concluir que é movimento circular.
Passo 4
Escolher um sistema de coordenadas conveniente e decompor o problema: \n
Como é uniforme e
, podemos escolher o eixo
na direção de
. Ou seja escolhemos
Como
com
constante. Tomamos a velocidade inicial ao longo do eixo
:
Escrevemos a velocidade geral como
Passo 5
Calcular o produto vetorial e obter as equações para as componentes: \n
Calcule
Calcule
pois
,
e
. Substituindo na equação de movimento obtemos, componente a componente,
Como
(velocidade inicial perpendicular a
), segue
para todo
. Assim o movimento fica confinado ao plano
.
Passo 6
Resolver as equações para
e
: \n
Diferenciando a primeira equação:
Diferenciando a primeira equação:
Substituindo
da segunda equação
, obtemos
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples. Defina
. A solução que satisfaz as condições iniciais
e
é
Verifique rapidamente que
, compatível com o passo anterior.
Passo 7
Integrar as velocidades para obter a trajetória no plano e identificar que é uma circunferência: \n
Integramos ,
com condições
,
(escolha conveniente de origem). Isso dá
Integramos
Agora calcule
Isso é a equação de uma circunferência de raio
. Portanto a trajetória é circular no plano perpendicular a
. A rapidez é constante (passo 3), logo o movimento é uniforme ao longo dessa circunferência.
Passo 8
Expressar o raio em termos das grandezas dadas e comentar o sinal: \n
Como , o raio da circunferência é
Como
Observação física importante: se
, a partícula gira num sentido (por exemplo anti-horário) e se
ela gira no sentido oposto; o módulo do raio depende de
, portanto muitas vezes escrevemos
. A fórmula acima com
funciona se você tomar em conta o sinal na direção de rotação.