Uma partícula tem equações de movimento dadas por,
x(t)=x_{0}+t^{2}, \quad y(t)=t^{3}, \quad z(t)=v_{0} t
Determine o vetor momento angular em função do tempo,
\vec{L}(t) .

Passo 1

O enunciado dá as equações de movimento de uma partícula:
x(t)=x_{0}+t^{2},\qquad y(t)=t^{3},\qquad z(t)=v_{0}t,
e pede o vetor momento angular \vec{L}(t).
Informações relevantes fornecidas:
\text{posição: }\vec{r}(t)=(x_{0}+t^{2},\,t^{3},\,v_{0}t).çã
Os parâmetros x_{0} e v_{0} são constantes (dados do enunciado). O enunciado não fornece a massa, então manteremos a massa como a constante m.
A pergunta é: determinar \vec{L}(t) em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos explicitamente o vetor posição \vec{r}(t). Colocando as coordenadas em forma de vetor:
\vec{r}(t)=\bigl(x_{0}+t^{2},\;t^{3},\;v_{0}t\bigr).
Aqui cada componente é uma função de t: a componente x é x_{0}+t^{2}, a componente y é t^{3} e a componente z é v_{0}t.

Passo 3

Precisamos da velocidade \vec{v}(t), que é a derivada temporal da posição: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Vou lembrar rapidinho as regras básicas de derivação que usamos: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma constante multiplicando t é a constante. Aplicando isso componente a componente:
  • \dfrac{d}{dt}(x_{0}+t^{2})=0+2t=2t.
  • \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}.
  • \dfrac{d}{dt}(v_{0}t)=v_{0} (pois v_{0} é constante).
Portanto:
\vec{v}(t)=\bigl(2t,\;3t^{2},\;v_{0}\bigr).

Passo 4

O momento linear (quantidade de movimento) é \vec{p}(t)=m\vec{v}(t), onde m é a massa da partícula (constante). Então
\vec{p}(t)=m\bigl(2t,\;3t^{2},\;v_{0}\bigr).
Explicando: multiplicamos cada componente da velocidade por m.

Passo 5

A definição do momento angular em relação à origem é
\vec{L}(t)=\vec{r}(t)\times\vec{p}(t).
Como \vec{p}=m\vec{v}, é comum escrever
\vec{L}(t)=m\bigl(\vec{r}(t)\times\vec{v}(t)\bigr).
Vou calcular primeiro \vec{r}\times\vec{v} e depois multiplicar por m. Para o produto vetorial em coordenadas cartesianas, usamos a fórmula componente a componente:
\vec{r}\times\vec{v}=\bigl(r_{2}v_{3}-r_{3}v_{2},\;r_{3}v_{1}-r_{1}v_{3},\;r_{1}v_{2}-r_{2}v_{1}\bigr),
onde r_{1},r_{2},r_{3} são as componentes de \vec{r} e v_{1},v_{2},v_{3} as de \vec{v}.

Passo 6

Identificamos as componentes:
r_{1}=x_{0}+t^{2},\quad r_{2}=t^{3},\quad r_{3}=v_{0}t,
v_{1}=2t,\quad v_{2}=3t^{2},\quad v_{3}=v_{0}.
Agora calculamos cada componente de \vec{r}\times\vec{v}:
Componente x (primeira):
r_{2}v_{3}-r_{3}v_{2}=t^{3}\cdot v_{0}-(v_{0}t)\cdot 3t^{2} = v_{0}t^{3}-3v_{0}t^{3}=-2v_{0}t^{3}.
Componente y (segunda):
r_{3}v_{1}-r_{1}v_{3}=(v_{0}t)\cdot 2t-(x_{0}+t^{2})\cdot v_{0} =2v_{0}t^{2}-v_{0}x_{0}-v_{0}t^{2}=v_{0}t^{2}-v_{0}x_{0}.
Posso fatorar v_{0}:
v_{0}(t^{2}-x_{0}).
Componente z (terceira):
r_{1}v_{2}-r_{2}v_{1}=(x_{0}+t^{2})\cdot 3t^{2}-t^{3}\cdot 2t =3x_{0}t^{2}+3t^{4}-2t^{4}=3x_{0}t^{2}+t^{4}.
Posso também escrever t^{2}(t^{2}+3x_{0}) se quiser fatorar.
Portanto
\vec{r}(t)\times\vec{v}(t)=\bigl(-2v_{0}t^{3},\;v_{0}(t^{2}-x_{0}),\;t^{4}+3x_{0}t^{2}\bigr).

Passo 7

Multiplicando por m para obter \vec{L}(t)=m(\vec{r}\times\vec{v}), temos:
\vec{L}(t)=\bigl(-2m v_{0}t^{3},\;m v_{0}(t^{2}-x_{0}),\;m(t^{4}+3x_{0}t^{2})\bigr).
Isso é o vetor momento angular em função do tempo. Como checagem rápida: cada termo tem dimensão de momento vezes comprimento (massa × velocidade × comprimento), que é coerente com momento angular.

Resposta

\vec{L}(t)=\bigl(-2m v_{0}t^{3},\;m v_{0}(t^{2}-x_{0}),\;m(t^{4}+3x_{0}t^{2})\bigr)

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