Uma partícula tem equações de movimento dadas por,
Determine o vetor momento angular em função do tempo,
Passo 1
O enunciado dá as equações de movimento de uma partícula:
e pede o vetor momento angular
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Os parâmetros
e
são constantes (dados do enunciado). O enunciado não fornece a massa, então manteremos a massa como a constante
.
A pergunta é: determinar em função do tempo.
A pergunta é: determinar
Passo 2
Primeiro, escrevemos explicitamente o vetor posição
. Colocando as coordenadas em forma de vetor:
Aqui cada componente é uma função de
: a componente
é
, a componente
é
e a componente
é
.
Passo 3
Precisamos da velocidade
, que é a derivada temporal da posição:
. Vou lembrar rapidinho as regras básicas de derivação que usamos: a derivada de
é
, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma constante multiplicando
é a constante. Aplicando isso componente a componente:
-
. -
. -
(pois é constante).
Portanto:
Passo 4
O momento linear (quantidade de movimento) é
, onde
é a massa da partícula (constante). Então
Explicando: multiplicamos cada componente da velocidade por
.
Passo 5
A definição do momento angular em relação à origem é
Como
, é comum escrever
Vou calcular primeiro
e depois multiplicar por
. Para o produto vetorial em coordenadas cartesianas, usamos a fórmula componente a componente:
onde
são as componentes de
e
as de
.
Passo 6
Identificamos as componentes:
Agora calculamos cada componente de
:
Componente
(primeira):
Componente
(segunda):
Posso fatorar
:
Componente
(terceira):
Posso também escrever
se quiser fatorar.
Portanto
Passo 7
Multiplicando por
para obter
, temos:
Isso é o vetor momento angular em função do tempo. Como checagem rápida: cada termo tem dimensão de momento vezes comprimento (massa × velocidade × comprimento), que é coerente com momento angular.