Uma corrente muito longa com densidade constante \rho, tem uma extremidade conectada em uma esfera de massa M. O sistema lançado verticalmente para cima com velocidade V_{0}. Mostre que a altura máxima alcançada pela esfera é dada por:
H_{\max }=\left(\frac{M}{\rho}\right)\left[\left(1+\frac{3 \rho V_{0}^{2}}{2 M g}\right)^{1 / 3} \div 1\right]

Passo 1

O problema pede para encontrar a altura máxima alcançada pela esfera quando o conjunto (esfera + corrente muito longa) é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial V_{0}. Informações dadas e hipóteses necessárias que vamos usar:
  • A esfera tem massa M.
  • A corrente é muito longa e possui densidade linear de massa \rho (massa por unidade de comprimento).
  • A aceleração da gravidade é g.
  • Inicialmente assumimos que a corrente está vertical abaixo da esfera (ou que a parte que importa está pronta para ser içada) e que, ao subir uma distância x, a esfera levanta um comprimento x da corrente. Assim, quando a esfera subiu x, a massa em movimento ligada à esfera é M+\rho x.
  • O sistema é lançado com velocidade inicial V_{0} (no instante inicial x=0 a velocidade é V_{0}). A altura máxima H_{\max} é o valor de x quando a velocidade passa a ser zero.
  • Queremos uma expressão analítica de H_{\max} em termos de M,\rho,V_{0},g.

Passo 2

Modelagem física e escolha da equação fundamental. Vamos acompanhar a esfera enquanto ela sobe: se ela subiu uma distância x (medida a partir da posição inicial), então a massa em movimento é
m(x)=M+\rho x.
Essa massa está se movendo com velocidade v(x) (a velocidade da esfera). À medida que a esfera sobe, novos trechos da corrente, inicialmente em repouso no referencial do solo, passam a fazer parte do sistema em movimento. Para escrever a equação do movimento usamos a conservação do momento linear do sistema variável (ou seja, escrevemos a variação do momento da massa que está se movendo igual à força externa resultante). As únicas forças externas na direção vertical são o peso da parte em movimento:
F_{\text{ext}} = -m(x)\,g.
Portanto escrevemos a equação de variação do momento:
\frac{d}{dt}\bigl(m(x)\,v\bigr) = -m(x)\,g.
Aqui v é a velocidade da esfera (função do tempo) e m(x)=M+\rho x. Vou explicar por que essa equação é adequada: o termo \frac{d}{dt}(m v) já inclui tanto a aceleração da massa já em movimento quanto a contribuição da adição de nova massa (a cada instante aumenta m quando levantamos mais corrente). A troca de massa (elementos da corrente que passam do repouso para a velocidade v) tem sua contribuição para o momento incluída corretamente nessa derivada, e as únicas forças externas que mudam o momento do sistema são os pesos.

Passo 3

Desenvolvendo a equação e mudando para variáveis mais convenientes. Expanda a derivada temporal:
\frac{d}{dt}\bigl((M+\rho x)\,v\bigr) = (M+\rho x)\,\frac{dv}{dt} + \rho v^2.
A igualdade com a força externa dá:
(M+\rho x)\,\frac{dv}{dt} + \rho v^2 = - (M+\rho x)\,g.
Para transformar numa equação em x em vez de t, usamos \dfrac{dv}{dt} = v\,\dfrac{dv}{dx} (porque v=\dfrac{dx}{dt}). Substituindo:
(M+\rho x)\,v\,\frac{dv}{dx} + \rho v^2 = - (M+\rho x)\,g.
Essa é a equação diferencial que relaciona v e x. Nosso objetivo é integrar essa equação entre as condições iniciais x=0, v=V_{0} e a condição de topo x=H_{\max}, v=0.

Passo 4

Redução da equação e linearização por substituição. Defina w(x)=v(x)^2. Então \dfrac{dw}{dx}=2v\dfrac{dv}{dx}. Multiplicando a equação por 2 e usando essa substituição obtemos:
(M+\rho x)\,\frac{dw}{dx} + 2\rho w + 2 (M+\rho x)\,g = 0.
Dividindo por 2 para ficar mais simples antes de reorganizar:
\frac{M+\rho x}{2}\,\frac{dw}{dx} + \rho w + (M+\rho x)\,g = 0,
ou, escrevendo como uma equação linear em w,
\frac{dw}{dx} + \frac{2\rho}{M+\rho x}\,w + 2g = 0.
É uma equação linear de primeira ordem para w(x). O fator integrante (integrating factor) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2\rho}{M+\rho x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln(M+\rho x)\right)=(M+\rho x)^2.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos uma forma exata:
\frac{d}{dx}\bigl((M+\rho x)^2\,w\bigr) + 2g\,(M+\rho x)^2 = 0.

Passo 5

Integração entre as condições inicial e final. Integramos em x de 0 até H (onde H é a altura máxima procurada; no topo v=0 então w(H)=0):
\bigl[(M+\rho x)^2\,w(x)\bigr]_{0}^{H} + 2g\int_{0}^{H}(M+\rho x)^2\,dx = 0.
Avalie os termos: w(H)=0 e w(0)=V_{0}^2. Então a primeira parcela é -M^2 V_{0}^2. Para a integral polinomial:
\int_{0}^{H}(M+\rho x)^2\,dx = \int_{0}^{H}\bigl(M^2 + 2M\rho x + \rho^2 x^2\bigr)\,dx = M^2 H + M\rho H^2 + \frac{1}{3}\rho^2 H^3.
Substituindo tudo na equação integrada:
- M^2 V_{0}^2 + 2g\Bigl(M^2 H + M\rho H^2 + \frac{1}{3}\rho^2 H^3\Bigr) = 0.

Passo 6

Reorganização algébrica para obter a equação cúbica em H. Passe o termo do lado direito:
2g\left(M^2 H + M\rho H^2 + \frac{1}{3}\rho^2 H^3\right) = M^2 V_{0}^2.
Divida ambos os lados por 2g:
M^2 H + M\rho H^2 + \frac{1}{3}\rho^2 H^3 = \frac{M^2 V_{0}^2}{2g}.
Agora é conveniente introduzir a variável adimensional
h=\frac{\rho H}{M}.
Substituindo H=(M/\rho)h na equação obtém-se (fatores simplificam):
\frac{M^3}{\rho}\Bigl(h + h^2 + \frac{1}{3}h^3\Bigr) = \frac{M^2 V_{0}^2}{2g}.
Dividindo por M^2 e multiplicando por \rho/M resulta
h + h^2 + \frac{1}{3}h^3 = \frac{\rho V_{0}^2}{2 M g}.

Passo 7

Resolver a equação cúbica usando uma forma fatorada inteligente. Multiplicando por 3:
h^3 + 3h^2 + 3h = \frac{3\rho V_{0}^2}{2 M g}.
O lado esquerdo é exatamente (h+1)^3 - 1, pois (h+1)^3 = h^3 + 3h^2 + 3h +1. Logo:
(h+1)^3 - 1 = \frac{3\rho V_{0}^2}{2 M g}.
Isto leva a
(h+1)^3 = 1 + \frac{3\rho V_{0}^2}{2 M g}.
Tomando a raiz cúbica:
h+1 = \left(1 + \frac{3\rho V_{0}^2}{2 M g}\right)^{1/3}.
Portanto
h = \left(1 + \frac{3\rho V_{0}^2}{2 M g}\right)^{1/3} - 1.
Voltando à variável H com H=(M/\rho)h, obtemos a expressão final.

Resposta

H_{\max}=\frac{M}{\rho}\left[\left(1+\frac{3\rho V_{0}^{2}}{2Mg}\right)^{1/3}-1\right]

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