Uma corrente muito longa com densidade constante \rho, tem uma extremidade conectada em uma esfera de massa M. O sistema lançado verticalmente para cima com velocidade V_{0}. Mostre que a altura máxima alcançada pela esfera é dada por:
H_{\max }=\left(\frac{M}{\rho}\right)\left[\left(1+\frac{3 \rho V_{0}^{2}}{2 M g}\right)^{1 / 3} \div 1\right]
Passo 1
O problema pede para encontrar a altura máxima alcançada pela esfera quando o conjunto (esfera + corrente muito longa) é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial V_{0}. Informações dadas e hipóteses necessárias que vamos usar:
A esfera tem massa M.
A corrente é muito longa e possui densidade linear de massa \rho (massa por unidade de comprimento).
A aceleração da gravidade é g.
Inicialmente assumimos que a corrente está vertical abaixo da esfera (ou que a parte que importa está pronta para ser içada) e que, ao subir uma distância x, a esfera levanta um comprimento x da corrente. Assim, quando a esfera subiu x, a massa em movimento ligada à esfera é M+\rho x.
O sistema é lançado com velocidade inicial V_{0} (no instante inicial x=0 a velocidade é V_{0}). A altura máxima H_{\max} é o valor de x quando a velocidade passa a ser zero.
Queremos uma expressão analítica de H_{\max} em termos de M,\rho,V_{0},g.
Passo 2
Modelagem física e escolha da equação fundamental. Vamos acompanhar a esfera enquanto ela sobe: se ela subiu uma distância x (medida a partir da posição inicial), então a massa em movimento é
m(x)=M+\rho x.
Essa massa está se movendo com velocidade v(x) (a velocidade da esfera). À medida que a esfera sobe, novos trechos da corrente, inicialmente em repouso no referencial do solo, passam a fazer parte do sistema em movimento. Para escrever a equação do movimento usamos a conservação do momento linear do sistema variável (ou seja, escrevemos a variação do momento da massa que está se movendo igual à força externa resultante). As únicas forças externas na direção vertical são o peso da parte em movimento:
F_{\text{ext}} = -m(x)\,g.
Portanto escrevemos a equação de variação do momento:
\frac{d}{dt}\bigl(m(x)\,v\bigr) = -m(x)\,g.
Aqui v é a velocidade da esfera (função do tempo) e m(x)=M+\rho x. Vou explicar por que essa equação é adequada: o termo \frac{d}{dt}(m v) já inclui tanto a aceleração da massa já em movimento quanto a contribuição da adição de nova massa (a cada instante aumenta m quando levantamos mais corrente). A troca de massa (elementos da corrente que passam do repouso para a velocidade v) tem sua contribuição para o momento incluída corretamente nessa derivada, e as únicas forças externas que mudam o momento do sistema são os pesos.
Passo 3
Desenvolvendo a equação e mudando para variáveis mais convenientes. Expanda a derivada temporal:
Essa é a equação diferencial que relaciona v e x. Nosso objetivo é integrar essa equação entre as condições iniciais x=0, v=V_{0} e a condição de topo x=H_{\max}, v=0.
Passo 4
Redução da equação e linearização por substituição. Defina w(x)=v(x)^2. Então \dfrac{dw}{dx}=2v\dfrac{dv}{dx}. Multiplicando a equação por 2 e usando essa substituição obtemos: