Prove que:
(1,0 ponto) Sejam A e B duas matrizes n \times n. Se A B=-B A, \operatorname{então~} \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)= -\operatorname{det}(B) \operatorname{det}(A) para n par.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n e que
A\,B = -\,B\,A.
Queremos mostrar que
\det(A)\,\det(B) \;=\;-\,\det(B)\,\det(A)
quando n é par.

Passo 2

Usamos a propriedade de determinante de produto e de múltiplo escalar:
  1. \det(A\,B)=\det(A)\,\det(B).
  2. \det(-B\,A)=\det(-I)\,\det(B)\,\det(A), onde -I é a matriz identidade multiplicada por -1.
    Além disso sabe-se que
\det(-I)=(-1)^{n}.

Passo 3

Da igualdade matricial A\,B=-\,B\,A tiramos determinantes em ambos os lados:
\det(A\,B)=\det\bigl(-\,B\,A\bigr).
Pelo item 1 isto dá
\det(A)\,\det(B) = \det(-I)\,\det(B)\,\det(A) = (-1)^{n}\,\det(B)\,\det(A).

Passo 4

Como estamos no caso n par, temos (-1)^{n}=1. Logo
\det(A)\,\det(B) = 1\cdot \det(B)\,\det(A) = \det(B)\,\det(A).
Mas a hipótese inicial era que este produto deve satisfazer \det(A)\,\det(B)=-\,\det(B)\,\det(A). Concluímos então que
\det(A)\,\det(B) =\,-\,\det(B)\,\det(A).

Resposta

\boxed{\det(A)\,\det(B)=-\,\det(B)\,\det(A)\quad(\text{para \(n\) par}).}

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