Prove que:
Sejam
e
duas matrizes
. Se
,
para
ímpar.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas de ordem
tais que
temos
quando
é ímpar. Vamos usar duas propriedades básicas de determinantes:
- Multiplicatividade:
. - Escalonamento por escalar no determinante:
.
Passo 2
Pela multiplicatividade,
Como
, segue
Passo 3
Escrevendo
e aplicando multiplicatividade de novo,
Passo 4
Sabendo que
e que
, resulta
Passo 5
Reunindo tudo:
Passo 6
Para
ímpar temos
. Portanto
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Para
ímpar, sob a condição
, vale