Prove que:
Sejam A e B duas matrizes n \times n. Se A B=-B A, \operatorname{então~} \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)= -\operatorname{det}(B) \operatorname{det}(A) para n ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas de ordem n tais que
AB = -BA,
temos
\det(A)\,\det(B) = -\,\det(B)\,\det(A)
quando n é ímpar. Vamos usar duas propriedades básicas de determinantes:
  1. Multiplicatividade: \det(XY)=\det(X)\,\det(Y).
  2. Escalonamento por escalar no determinante: \det(c\,I_n)=c^n.

Passo 2

Pela multiplicatividade,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Como AB=-BA, segue
\det(AB)=\det(-BA).

Passo 3

Escrevendo -BA = (-I_n)\,B\,A e aplicando multiplicatividade de novo,
\det(-BA)=\det(-I_n)\,\det(B\,A).

Passo 4

Sabendo que \det(-I_n)=(-1)^n e que \det(B\,A)=\det(B)\,\det(A), resulta
\det(-BA)=(-1)^n\,\det(B)\,\det(A).

Passo 5

Reunindo tudo:
\det(A)\,\det(B)=\det(AB)=\det(-BA)=(-1)^n\,\det(B)\,\det(A).

Passo 6

Para n ímpar temos (-1)^n=-1. Portanto
\det(A)\,\det(B)=-\,\det(B)\,\det(A),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Para n ímpar, sob a condição AB=-BA, vale
\det(A)\,\det(B)=-\,\det(B)\,\det(A).

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