Prove que para quaisquer conjuntos A e B, B-(B-A)=A \cap B.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer conjuntos A e B,
B - (B - A) \;=\; A \cap B.
Aqui vamos usar a definição de diferença de conjuntos e de interseção:
  1. x \in C - D significa x \in C e x \notin D.
  2. x \in A \cap B significa x \in A e x \in B.

Passo 2

Prova de B - (B - A)\subseteq A \cap B. Seja x um elemento qualquer tal que
x \in B - (B - A).
Pela definição de diferença, isso implica
x \in B \quad\text{e}\quad x \notin (B - A).
Mas x \notin (B - A) significa negar “ x \in B e x \notin A”, ou seja,
\neg\bigl(x\in B\\ \wedge\\ x\notin A\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x\notin B\\ \lor\\ x\in A.
Como já temos x\in B, a única possibilidade é x\in A. Logo x\in A e x\in B, ou seja,
x \in A \cap B.
Assim mostramos B - (B - A)\subseteq A \cap B.

Passo 3

Prova de A \cap B\subseteq B - (B - A). Seja x tal que
x \in A \cap B.
Então x\in A e x\in B. Para ver que x\in B - (B - A), precisamos checar que x\notin (B - A). Mas x\notin (B - A) significa que não ocorre simultaneamente “ x\in B e x\notin A”. Como de fato x\in A, não pode ser que x\notin A. Portanto x\notin(B - A). Juntando com x\in B, concluímos
x \in B - (B - A).
Isso mostra A \cap B\subseteq B - (B - A).

Resposta

Pelo duplo contido, temos
B - (B - A) \;=\; A \cap B.

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