Prove que se
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1 então:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado diz que
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1. Isto significa que
Precisaremos usar a soma de uma progressão geométrica para a parte (a) e, para a parte (b), a técnica de derivar uma soma que dependa de um parâmetro.
Passo 2
Queremos provar que
Note que essa soma é uma progressão geométrica de razão
e
termos. Se chamarmos
então multiplicar por
dá
Como
, segue
E, como
, temos
, logo
Passo 3
Para a parte (b), considere a função
Sabemos que
pois é a soma de uma progressão geométrica de razão
. Observe que
por derivação termo a termo.
Passo 4
Vamos aplicar a regra do quociente em
Temos
logo
Avalie em
. Como
, nota-se que
. Assim o numerador fica
Portanto
Mas
. Logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)