Decomponha cada um dos polinômios abaixo como um produto de polinômios do primeiro grau:
P(z)=z^{2}-(1+i) z+5 i.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o polinômio
P(z)=z^{2}-(1+i)z+5i
como produto de polinômios de primeiro grau no corpo dos complexos, usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Identificamos a=1, b=-(1+i) e c=5i. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-(1+i))^{2}-4\cdot1\cdot5i = (1+2i+i^{2})-20i = -18i.

Passo 3

Para encontrar \sqrt{\Delta}=\sqrt{-18i}, buscamos w=a+bi tal que
w^{2}=-18i \implies a^{2}-b^{2}=0,\quad 2ab=-18.
Daí b=-a e a^{2}=9, logo uma raiz é w=3-3i (a outra é o simétrico -3+3i).

Passo 4

As raízes do polinômio vêm de
z=\frac{-b\pm w}{2a}=\frac{1+i\pm(3-3i)}{2}.
Calculando:
z_{1}=\frac{1+i+3-3i}{2}=2-i, \quad z_{2}=\frac{1+i-(3-3i)}{2}=-1+2i.

Passo 5

Como P é monico a=1, a fatoração é
P(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})=(z-(2-i))\,(z-(-1+2i)).

Resposta

P(z)=(z-2+i)\,(z+1-2i).

Exercícios relacionados