Prove que uma recorrência de primeira ordem,
, com uma condição inicial
, tem sempre uma e uma só solução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a recorrência de primeira ordem
possui exatamente uma sequência
que satisfaça essas duas condições. O ingrediente principal será o princípio de indução, tanto para construir a solução (existência) quanto para provar que não pode haver outra (ununicidade).
Passo 2
Vamos construir a solução por indução.
Base : a definição já nos dá
.
Passo indutivo: suponha que já definimos unicamente para todo
. Então definimos
Base
Passo indutivo: suponha que já definimos
Dessa forma, para cada
existe pelo menos um valor
que satisfaz a recorrência. Em particular fica claro que
onde
é
composta consigo mesma
vezes.
Passo 3
Agora provamos unicidade: suponha que exista outra sequência
com as mesmas condições iniciais e satisfazendo
. Por indução:
Base :
.
Passo indutivo: se para todo
, então
Base
Passo indutivo: se
Logo por indução
para todo
. Isso prova que não pode haver outra solução distinta.
Resposta
A recorrência tem solução única dada por
isto é,
e
determina unicamente cada termo.