Prove que uma recorrência de primeira ordem, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), com uma condição inicial x_{1}=a, tem sempre uma e uma só solução.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a recorrência de primeira ordem
x_{n+1}=f\bigl(x_{n}\bigr),\quad x_{1}=a
possui exatamente uma sequência \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty} que satisfaça essas duas condições. O ingrediente principal será o princípio de indução, tanto para construir a solução (existência) quanto para provar que não pode haver outra (ununicidade).

Passo 2

Vamos construir a solução por indução.
Base n=1: a definição já nos dá x_{1}=a.
Passo indutivo: suponha que já definimos x_{k} unicamente para todo k\le n. Então definimos
x_{n+1} \;=\; f\bigl(x_{n}\bigr).
Dessa forma, para cada n existe pelo menos um valor x_{n} que satisfaz a recorrência. Em particular fica claro que
x_{2}=f(a),\quad x_{3}=f\bigl(f(a)\bigr),\quad\ldots,\quad x_{n}=f^{\,n-1}(a),
onde f^{\,n-1} é f composta consigo mesma n-1 vezes.

Passo 3

Agora provamos unicidade: suponha que exista outra sequência \{y_{n}\} com as mesmas condições iniciais e satisfazendo y_{n+1}=f(y_{n}). Por indução:
Base n=1: y_{1}=a=x_{1}.
Passo indutivo: se y_{k}=x_{k} para todo k\le n, então
y_{n+1}=f\bigl(y_{n}\bigr)=f\bigl(x_{n}\bigr)=x_{n+1}.
Logo por indução y_{n}=x_{n} para todo n. Isso prova que não pode haver outra solução distinta.

Resposta

A recorrência tem solução única dada por
x_{n} = f^{\,n-1}(a),
isto é, x_{1}=a e x_{n+1}=f\bigl(x_{n}\bigr) determina unicamente cada termo.

Exercícios relacionados