Determine x_{5} na sequência definida por x_{n+2}=2 x_{n+1}+x_{n}, x_{0}=x_{1}=1.

Passo 1

O enunciado define a sequência (x_n) por recorrência de segunda ordem
x_{n+2} = 2\,x_{n+1} + x_n
com condições iniciais x_0 = x_1 = 1. Vamos aplicar a relação de recorrência iterativamente para encontrar x_5.

Passo 2

Calculamos os termos intermediários:
x_2 = 2\,x_1 + x_0 = 2 \cdot 1 + 1 = 3,
x_3 = 2\,x_2 + x_1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7,
x_4 = 2\,x_3 + x_2 = 2 \cdot 7 + 3 = 17.

Passo 3

Agora obtemos o termo procurado:
x_5 = 2\,x_4 + x_3 = 2 \cdot 17 + 7 = 41.

Resposta

41

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