Admitindo que a pressão sanguínea arterial em homens siga o modelo normal, sete pacientes foram sorteados e tiveram sua pressão aferida com os seguintes resultados: 84,81,77,85,69,80 e 79 .
(a) Teste se a média é 82 com nível de significância 2 \%.
(b) Determine o intervalo de confiança para \mu com coeficiente de confiança \gamma=90 \%.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma amostra de tamanho n=7 com as medições de pressão arterial 84,81,77,85,69,80,79. Queremos (a) testar, ao nível de significância \alpha=2\%, a hipótese nula
H_0\colon \mu=82
contra a hipótese alternativa
H_1\colon \mu\neq82
supondo que a população é normal com variância desconhecida; e (b) construir um intervalo de confiança de 90\% para \mu. Para isso usaremos o teste t de Student e o intervalo baseado na distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular as estatísticas amostrais. A soma dos valores é
\sum x_i = 84+81+77+85+69+80+79 = 555
logo a média amostral é
\bar{x} = \frac{555}{7} \approx 79{,}29.
A soma dos quadrados dos desvios em relação a \bar{x} é aproximadamente 169{,}48, de onde a variância amostral fica
s^2 = \frac{169{,}48}{n-1} = \frac{169{,}48}{6}\approx28{,}25,
e o desvio padrão amostral é
s\approx\sqrt{28{,}25}\approx5{,}32.
Usaremos o erro padrão s/\sqrt{n}\approx5{,}32/\sqrt7\approx2{,}01.

Passo 3

Formamos a estatística de teste
t = \frac{\bar{x}-82}{s/\sqrt7} = \frac{79{,}29 - 82}{2{,}01} \approx -1{,}35.
Os graus de liberdade são n-1=6. Para \alpha/2=1\% o valor crítico bilateral é
t_{6,0,01}\approx3{,}707.
Como \lvert t\rvert=1{,}35<3{,}707, não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência, a 2%, de que a média difira de 82.

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 90\% usamos
\bar{x}\pm t_{6,0,05}\,\frac{s}{\sqrt7}
com t_{6,0,05}\approx1{,}943. A margem de erro é
1{,}943 \times 2{,}01 \approx 3{,}90.
Logo
IC_{90\%} = \bigl(79{,}29 - 3{,}90,\;79{,}29 + 3{,}90\bigr) = (75{,}39,\;83{,}19).

Resposta

(a) Não se rejeita H_0 ao nível de 2\%.
(b) Intervalo de confiança de 90\%: (75{,}39,\;83{,}19).

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