Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se
e
são analíticas, então:
c) Se
, então
é analítica em
e
c) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas funções analíticas,
e
, e queremos provar uma regra de derivação para o quociente delas quando
. Basicamente, a gente vai mostrar que
também é analítica em
e encontrar a expressão para a sua derivada nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre funções analíticas e como derivadas funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica em um ponto. Uma função
é analítica em
se ela é diferenciável naquele ponto e em um entorno ao redor dele. Isso é importante porque se
e
são analíticas, elas têm derivadas bem definidas em
.
Passo 3
Agora, queremos provar que
é analítica em
quando
. Para isso, vamos utilizar a propriedade de que o quociente de duas funções analíticas é analítico onde o denominador não é zero. Como
, podemos afirmar que existe um entorno de
onde
também não é zero, garantindo que
seja analítica nesse entorno.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
em
. Para isso, usamos a definição da derivada para quocientes. A derivada de
em
é dada por:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, combinamos as frações no numerador:
Agora, podemos reescrever a expressão dividindo e multiplicando por
:
Passo 6
Vamos separar os termos do numerador:
Isso fica:
Passo 7
Agora, separamos as frações:
Simplificando:
Passo 8
Tomando o limite quando
, sabemos que
e
são diferenciáveis, então:
Resposta
A derivada de
em
é