Seja h(x) = x^2 * g(x) onde g(x) = { 1 se x em Q; -1 se x não em Q }. A função h é contínua em x = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde é definida de forma que vale 1 se for racional e -1 se for irracional. A pergunta é: essa função é contínua em ? Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite e continuidade de funções. Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em . Substituindo na expressão da função:
Agora, independente do valor de (que seria 1 ou -1 dependendo se 0 é considerado racional ou irracional, mas na verdade 0 é racional), o resultado será:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Temos:
Sabemos que sempre vale 1 ou -1, ou seja, está limitado entre -1 e 1. Então, podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto) para calcular o limite. Observamos que:
Como e , pelo Teorema do Sanduíche:

Passo 4

Finalmente, comparamos o limite que achamos com o valor da função em 0. Vimos que:
Como o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor de , concluímos que a função é contínua em .

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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