Seja
onde
. A função
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
é definida de forma que vale 1 se
for racional e -1 se
for irracional. A pergunta é: essa função
é contínua em
? Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite e continuidade de funções. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual ao valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
em
. Substituindo na expressão da função:
Agora, independente do valor de
(que seria 1 ou -1 dependendo se 0 é considerado racional ou irracional, mas na verdade 0 é racional), o resultado será:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Temos:
Sabemos que
sempre vale 1 ou -1, ou seja, está limitado entre -1 e 1. Então, podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto) para calcular o limite. Observamos que:
Como
e
, pelo Teorema do Sanduíche:
Passo 4
Finalmente, comparamos o limite que achamos com o valor da função em 0. Vimos que:
Como o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual ao valor de
, concluímos que a função
é contínua em
.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.