Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se
e
são analíticas, então:
e) Uma função com derivada zero em toda uma região é constante (Dica: Use por exemplo que
.
e) Uma função com derivada zero em toda uma região é constante (Dica: Use por exemplo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que uma função analítica com derivada zero em toda uma região é constante. Isso está no ramo do Cálculo Complexo, especificamente lidando com funções analíticas. Para resolver isso, vamos precisar usar as condições de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a entender o comportamento das partes real e imaginária de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a função analítica como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Aqui,
, com
e
sendo números reais.
Passo 3
Segundo a dica do enunciado, a derivada de
em relação a
é dada por:
Mas como estamos supondo que
em toda a região, isso implica que:
Passo 4
Agora, vamos lembrar das condições de Cauchy-Riemann, que dizem que para
ser analítica, as derivadas parciais devem satisfazer:
Como já sabemos que
e
, podemos substituir esses valores nas condições de Cauchy-Riemann.
Passo 5
Substituindo na primeira condição:
E na segunda condição:
Isso nos mostra que todas as derivadas parciais de
e
em relação a
e
são zero.
Passo 6
Se todas as derivadas parciais de
e
são zero, isso significa que
e
não mudam em relação a
e
. Ou seja,
e
são constantes em toda a região considerada.
Passo 7
Portanto,
também é constante, já que tanto
quanto
são constantes.
Resposta
Assim, provamos que uma função analítica com derivada zero em toda uma região é constante.