Prove que as retas r: 2 x+3 y-1=0, \ell: x+y=0 e t: 3 x+4 y-1=0 concorrem no mesmo ponto P e determine as coordenadas desse ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá três retas pelas suas equações e pede duas coisas: provar que elas concorrem num mesmo ponto P e determinar as coordenadas desse ponto. As informações fornecidas são:
  • reta r: 2x+3y-1=0,
  • reta \ell: x+y=0,
  • reta t: 3x+4y-1=0.
O que se pede explicitamente:
  • mostrar que existe um ponto P que pertence simultaneamente a r, \ell e t (ou seja, provar que as três retas concorrem),
  • encontrar as coordenadas de P.

Passo 2

O que significa “interseção” ou “concurrência” aqui: duas retas intersectam-se num ponto quando existe um par [(x,y)) que satisfaz as equações das duas retas ao mesmo tempo; três retas concorrem se existe um mesmo par (x,y) que satisfaz as três equações simultaneamente.
Método escolhido (e por quê): usar o método da substituição para resolver o sistema formado por duas das equações e obter o ponto de interseção; depois verificar que esse ponto também satisfaz a terceira equação. Escolhi a substituição porque a reta \ell tem a forma simples x+y=0, que já dá y em função de x de maneira direta.
Breve explicação do método da substituição: dado um sistema de duas equações lineares em x e y,
\begin{cases} \text{(1)}\\\ \text{(2)} \end{cases}
se uma das equações permite escrever y\] em função de \(x (ou x em função de y), essa expressão é substituída na outra equação, reduzindo o problema a uma equação com uma única incógnita. Depois encontra-se a outra variável por retro-substituição.

Passo 3

Resolver a interseção entre r e \ell. Da reta \ell temos diretamente:
x+y=0 \quad\Rightarrow\quad y=-x.
Substituindo y=-x na equação de r, que é 2x+3y-1=0, obtemos:
2x+3(-x)-1=0.
Agora simplifico passo a passo:
2x-3x-1=0,
- x - 1 = 0,
- x = 1,
x = -1.
Retro-substituindo em y=-x,
y = -(-1) = 1.
Logo o ponto de interseção de r e \ell é P = (-1,1).

Passo 4

Verificar que P=(-1,1) também pertence à reta t. Substituo x=-1 e y=1 na equação de t, que é 3x+4y-1=0:
3(-1)+4(1)-1 = -3+4-1.
Calculo passo a passo:
-3+4 = 1,
1-1 = 0.
Portanto 3(-1)+4(1)-1=0, ou seja, o par (x,y)=(-1,1) satisfaz a equação de t.

Passo 5

Conclusão lógica: como o ponto P=(-1,1) pertence simultaneamente a r e a \ell (Passo 3) e também a t (Passo 4), as três retas concorrem no mesmo ponto P. Isso prova a concorrência e fornece as coordenadas buscadas.
Observação rápida sobre outros métodos: poderia-se igualmente resolver o sistema das duas primeiras equações por eliminação linear ou usar a Regra de Cramer para sistemas 2\times2. A substituição foi escolhida por ser mais direta aqui, pois \ell já fornece y em função de x.

Resposta

(-1,1)

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