Prove que as retas
e
concorrem no mesmo ponto
e determine as coordenadas desse ponto.
Passo 1
O enunciado nos dá três retas pelas suas equações e pede duas coisas: provar que elas concorrem num mesmo ponto
e determinar as coordenadas desse ponto. As informações fornecidas são:
- reta
: , - reta
: , - reta
: .
O que se pede explicitamente:
- mostrar que existe um ponto
que pertence simultaneamente a , e (ou seja, provar que as três retas concorrem), - encontrar as coordenadas de
.
Passo 2
O que significa “interseção” ou “concurrência” aqui: duas retas intersectam-se num ponto quando existe um par [(x,y)) que satisfaz as equações das duas retas ao mesmo tempo; três retas concorrem se existe um mesmo par
que satisfaz as três equações simultaneamente.
Método escolhido (e por quê): usar o método da substituição para resolver o sistema formado por duas das equações e obter o ponto de interseção; depois verificar que esse ponto também satisfaz a terceira equação. Escolhi a substituição porque a reta
tem a forma simples
, que já dá
em função de
de maneira direta.
Breve explicação do método da substituição: dado um sistema de duas equações lineares em
e
,
se uma das equações permite escrever
(ou
em função de
), essa expressão é substituída na outra equação, reduzindo o problema a uma equação com uma única incógnita. Depois encontra-se a outra variável por retro-substituição.
Passo 3
Resolver a interseção entre
e
. Da reta
temos diretamente:
Substituindo
na equação de
, que é
, obtemos:
Agora simplifico passo a passo:
Retro-substituindo em
,
Logo o ponto de interseção de
e
é
.
Passo 4
Verificar que
também pertence à reta
. Substituo
e
na equação de
, que é
:
Calculo passo a passo:
Portanto
, ou seja, o par
satisfaz a equação de
.
Passo 5
Conclusão lógica: como o ponto
pertence simultaneamente a
e a
(Passo 3) e também a
(Passo 4), as três retas concorrem no mesmo ponto
. Isso prova a concorrência e fornece as coordenadas buscadas.
Observação rápida sobre outros métodos: poderia-se igualmente resolver o sistema das duas primeiras equações por eliminação linear ou usar a Regra de Cramer para sistemas
. A substituição foi escolhida por ser mais direta aqui, pois
já fornece
em função de
.