Faça um esboço da região dos pontos do plano cujas coordenadas ( x, y ) satisfazem às condições dadas.
x y=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar (desenhar) a região do plano cujos pontos (x,y) satisfazem a condição
xy=0.
Informações dadas:
  • A única equação é \,xy=0.
  • A incógnitas são as coordenadas x e y de pontos no plano.
O que se pede concretamente: descrever e mostrar (por esboço) todos os pontos do plano que tornam verdadeira a igualdade \,xy=0.

Passo 2

Entender a interpretação algébrica da equação. Lembrete importante (propriedade do produto):
\text{Se }a\text{ e }b\text{ são números reais e }ab=0\text{, então }a=0\text{ ou }b=0.ãúã
Aplicando isso a x e y, de \,xy=0 concluímos que
x=0 \quad\text{ou}\quad y=0.
Aqui o “ou” é inclusivo: pode ser x=0, ou y=0, ou ambos simultaneamente (o caso x=0 e y=0 também satisfaz).

Passo 3

Descrever a parte dos pontos com x=0.
  • O conjunto de todos os pontos com x=0 é
\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\},
que geometricamente é a reta vertical que passa pela origem — conhecida como eixo y (ou ordenada).
  • Como esboçar: trace uma linha vertical passando por (0,0). Marque alguns pontos como (0,1), (0,-2) para visualizar.

Passo 4

Descrever a parte dos pontos com y=0.
  • O conjunto de todos os pontos com y=0 é
\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
que geometricamente é a reta horizontal que passa pela origem — conhecida como eixo x (ou abscissa).
  • Como esboçar: trace uma linha horizontal passando por (0,0). Marque alguns pontos como (1,0), (-3,0).

Passo 5

Combinar as duas partes (união).
  • A solução inteira da equação \,xy=0 é a união das duas retas:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy=0\}=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\cup\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
  • Observação: as duas retas se cruzam no ponto (0,0), que pertence a ambas as partes.

Passo 6

Verificação com exemplos (para fixar a ideia):
  • Verificar (3,0): (3)\cdot(0)=0 → satisfaz.
  • Verificar (0,-2): 0\cdot(-2)=0 → satisfaz.
  • Verificar (1,1): 1\cdot1=1\neq0 → não satisfaz.
    Isso ajuda a entender que apenas pontos exatamente sobre os eixos horizontais ou verticais entram na solução.

Passo 7

Como fazer o esboço passo a passo (na prova, sem muita enrolação):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares cruzando em (0,0): o eixo horizontal x e o eixo vertical y.
  2. Trace as retas inteiras y=0 (eixo x) e x=0 (eixo y) com traço mais forte.
  3. Opcional: marque alguns pontos representativos como (1,0), (-2,0), (0,1), (0,-3).
  4. Legende: escreva que a solução é a união dos eixos coordenados.
Dica rápida para a prova: ao ver um produto igual a zero, aplique imediatamente a propriedade “produto zero” e divida o problema em casos (cada fator zero).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy=0\}=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\cup\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}

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