Sejam a, b, c números reais distintos. Prove que os pontos A=(a, b+c), B=(b, a+c) e C=(c, a+b) são colineares e determine a equação cartesiana da reta que os contém.
Sugestão: encontre a equação da reta por dois desses pontos e mostre que terceiro ponto pertence a essa reta.

Passo 1

O enunciado dá três números reais distintos a,b,c e três pontos no plano:
A=(a,\;b+c),\qquad B=(b,\;a+c),\qquad C=(c,\;a+b).
O que se pede:
  • Mostrar que os pontos A,B,C são colineares (ou seja, estão todos numa mesma reta).
  • Determinar a equação cartesiana da reta que contém esses pontos.

Passo 2

Lembrete rápido e intuitivo sobre inclinação (slope) e reta por dois pontos:
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
desde que x_2\neq x_1. Se duas retas têm a mesma inclinação e um ponto em comum, são a mesma reta; para três pontos, se a inclinação entre um par coincide com a inclinação entre outro par, então os três são colineares.
  • A forma ponto-inclinação da reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m é
y-y_0 = m(x-x_0).
Vou aplicar isso aos pontos dados. Como a,b,c são distintos, em particular b\neq a, então ao calcular a inclinação entre A e B o denominador não é zero.

Passo 3

Calcular a inclinação da reta que passa por A e B. Usando as coordenadas:
m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{(a+c)-(b+c)}{b-a}.
Agora simplificar o numerador:
(a+c)-(b+c)=a-b.
Portanto
m_{AB}=\frac{a-b}{b-a}.
Notando que b-a = -(a-b), temos
m_{AB}=\frac{a-b}{-(a-b)}=-1.
Então a reta AB tem inclinação -1.

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação com o ponto A=(a,\;b+c) e m=-1. Substituindo na fórmula:
y-(b+c) = -1\bigl(x-a\bigr).
Agora desenvolver e organizar a equação passo a passo:
y-b-c = -x + a,
y + x = a + b + c.
Reescrevendo de forma habitual, a equação cartesiana obtida é
x+y=a+b+c.

Passo 5

Verificar que o ponto C=(c,\;a+b) pertence à reta encontrada, garantindo assim a colinearidade de A,B,C. Substituir as coordenadas de C em \,x+y=a+b+c:
c + (a+b) = a+b+c,
o que é uma identidade verdadeira. Logo C está na mesma reta que passa por A e B.

Passo 6

Conclusão final: os três pontos são colineares porque A e B determinam a reta de inclinação -1 cuja equação é \,x+y=a+b+c, e o ponto C satisfaz essa equação, portanto pertence à mesma reta. Boa — você acabou de provar a colinearidade e achar a equação da reta!

Resposta

x+y=a+b+c

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