Sejam
números reais distintos. Prove que os pontos
,
e
são colineares e determine a equação cartesiana da reta que os contém.
Sugestão: encontre a equação da reta por dois desses pontos e mostre que terceiro ponto pertence a essa reta.
Sugestão: encontre a equação da reta por dois desses pontos e mostre que terceiro ponto pertence a essa reta.
Passo 1
O enunciado dá três números reais distintos
e três pontos no plano:
O que se pede:
- Mostrar que os pontos
são colineares (ou seja, estão todos numa mesma reta). - Determinar a equação cartesiana da reta que contém esses pontos.
Passo 2
Lembrete rápido e intuitivo sobre inclinação (slope) e reta por dois pontos:
- A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por dois pontos
e é dada por
desde que
. Se duas retas têm a mesma inclinação e um ponto em comum, são a mesma reta; para três pontos, se a inclinação entre um par coincide com a inclinação entre outro par, então os três são colineares.
- A forma ponto-inclinação da reta que passa por
com inclinação é
Vou aplicar isso aos pontos dados. Como
são distintos, em particular
, então ao calcular a inclinação entre
e
o denominador não é zero.
Passo 3
Calcular a inclinação da reta que passa por
e
. Usando as coordenadas:
Agora simplificar o numerador:
Portanto
Notando que
, temos
Então a reta
tem inclinação
.
Passo 4
Usar a forma ponto-inclinação com o ponto
e
. Substituindo na fórmula:
Agora desenvolver e organizar a equação passo a passo:
Reescrevendo de forma habitual, a equação cartesiana obtida é
Passo 5
Verificar que o ponto
pertence à reta encontrada, garantindo assim a colinearidade de
. Substituir as coordenadas de
em
:
o que é uma identidade verdadeira. Logo
está na mesma reta que passa por
e
.
Passo 6
Conclusão final: os três pontos são colineares porque
e
determinam a reta de inclinação
cuja equação é
, e o ponto
satisfaz essa equação, portanto pertence à mesma reta. Boa — você acabou de provar a colinearidade e achar a equação da reta!