Prove que são verdadeiras as seguintes desigualdades:
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}<2 \sqrt{2};

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}<2\sqrt{2}.
Informações dadas (tudo positivo e bem definido):
  • \sqrt{5} e \sqrt{3} são raízes quadradas positivas.
  • Queremos demonstrar que a fração com denominador \sqrt{5}+\sqrt{3} é menor que 2\sqrt{2}.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: racionalizar o denominador. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{5}-\sqrt{3}. Isso é permitido porque multiplica-se por 1 e não muda o valor. Assim:
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}.
Explicação rápida: (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=5-3 é a diferença de quadrados.

Passo 3

Agora com a expressão mais simples, compare-a com algo maior e fácil de manipular. Observe que subtrair um número positivo diminui o valor, então
\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2},
porque \sqrt{3}>0.

Passo 4

Usamos que a função raiz quadrada é crescente em [0,\infty): se a<b então \sqrt{a}<\sqrt{b}. Como 5<8 segue \sqrt{5}<\sqrt{8}. Dividindo por 2>0 (multiplicação por número positivo preserva desigualdade) obtemos
\frac{\sqrt{5}}{2} < \frac{\sqrt{8}}{2}.
Mas \sqrt{8}=2\sqrt{2}, portanto
\frac{\sqrt{8}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Juntando as duas desigualdades desta etapa:
\frac{\sqrt{5}}{2}<\sqrt{2}.

Passo 5

Com as desigualdades dos passos anteriores temos a cadeia
\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2} < \sqrt{2}.
Falta comparar \sqrt{2} com 2\sqrt{2}. Como 2>1 e \sqrt{2}>0, multiplicando ambos os lados de 1<2 por \sqrt{2} (número positivo) obtemos
\sqrt{2}<2\sqrt{2}.

Passo 6

Combinando tudo:
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2} < \sqrt{2} < 2\sqrt{2}.
Portanto a desigualdade desejada está provada.

Resposta

A desigualdade \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}<2\sqrt{2} é verdadeira.

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