Prove que são verdadeiras as seguintes desigualdades:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade
Informações dadas (tudo positivo e bem definido):
-
e são raízes quadradas positivas. - Queremos demonstrar que a fração com denominador
é menor que .
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: racionalizar o denominador. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado
. Isso é permitido porque multiplica-se por
e não muda o valor. Assim:
Explicação rápida:
é a diferença de quadrados.
Passo 3
Agora com a expressão mais simples, compare-a com algo maior e fácil de manipular. Observe que subtrair um número positivo diminui o valor, então
porque
.
Passo 4
Usamos que a função raiz quadrada é crescente em
: se
então
. Como
segue
. Dividindo por
(multiplicação por número positivo preserva desigualdade) obtemos
Mas
, portanto
Juntando as duas desigualdades desta etapa:
Passo 5
Com as desigualdades dos passos anteriores temos a cadeia
Falta comparar
com
. Como
e
, multiplicando ambos os lados de
por
(número positivo) obtemos
Passo 6
Combinando tudo:
Portanto a desigualdade desejada está provada.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira.