Responda Falso (F) ou Verdadeiro (V) para as sentenças abaixo, justificando sua resposta:
(a)
;
(b)
;
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F) para três sentenças e justificar cada resposta. As sentenças são:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes dadas:
-
significa o conjunto dos reais tais que (intervalo aberto em à direita). -
significa o conjunto dos reais tais que (intervalo aberto em à esquerda). -
significa o conjunto dos reais tais que . -
é o conjunto dos números naturais (no contexto usual: ). - A notação
é a interseção (elementos que estão em ambos e ); é a união (elementos que estão em ou em ou em ambos).
Passo 2
Breve aula sobre conceitos usados (explicação passo a passo e exemplos simples).
- Intervalos em
: contém todos os números reais maiores que ; contém todos os reais maiores ou iguais a . Se um intervalo é aberto em um extremo (parênteses) o ponto extremo não pertence ao intervalo; se é fechado (colchete) o ponto extremo pertence. - União e interseção:
contém tudo que está em ou em . contém apenas o que está simultaneamente em e em . - Conjunto
: é um conjunto discreto de inteiros (habitualmente ); não contém frações nem decimais como .
Exemplo simples:porque não pertence aos intervalos abertos; isso mostra que unir dois intervalos que deixam fora um ponto pode deixar esse ponto fora do conjunto união.
Passo 3
Analisar
.
-
. -
.
A união desses dois conjuntos são todos os reais estritamente maiores queou estritamente menores que . O único real que não aparece em nenhum dos dois é exatamente , porque em ambos os intervalos o ponto é excluído (parênteses). Logo
Como
, a igualdade com
(que contém
) é falsa. Contraexemplo prático:
mas
e
.
Portanto a sentença (a) é Falsa.
Passo 4
Analisar
.
-
é o conjunto dos inteiros naturais (discretos). -
é um intervalo de números reais contínuo, que contém números não inteiros, por exemplo .
Para que dois conjuntos sejam iguais, cada elemento de um deve pertencer ao outro e vice-versa. Tome. Tem-se mas . Isso mostra que contém elementos que não contém; assim os conjuntos não são iguais.
Portanto a sentença (b) é Falsa.
Observação curta: mesmo que alguém use
começando em
, o problema permanece, porque
contém não inteiros.
Passo 5
Analisar
.
- Primeiro avaliamos numericamente os limites para intuição:
e .
Então. - O intervalo
é o conjunto de tais que . Como satisfaz (porque ), temos . - O intervalo
contém todos os tais que . Como , temos . - Sendo
elemento de ambos os conjuntos, então pertence à interseção deles:
Portanto a sentença (c) é Verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) V
(b) F
(c) V