Responda Falso (F) ou Verdadeiro (V) para as sentenças abaixo, justificando sua resposta:
(a) (-2, \infty) \cup(-\infty,-2)=\mathbb{R};
(b) \mathbb{N}=[1, \infty);
(c) 1 \in\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}\right) \cap\left(\frac{1}{2}, \infty\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F) para três sentenças e justificar cada resposta. As sentenças são:
(a) (-2,\infty)\cup(-\infty,-2)=\mathbb{R}.
(b) \mathbb{N}=[1,\infty).
(c) 1 \in\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)\cap\left(\dfrac{1}{2},\infty\right).
Informações relevantes dadas:
  • (-2,\infty) significa o conjunto dos reais x tais que x>-2 (intervalo aberto em -2 à direita).
  • (-\infty,-2) significa o conjunto dos reais x tais que x<-2 (intervalo aberto em -2 à esquerda).
  • [1,\infty) significa o conjunto dos reais x tais que x\ge 1.
  • \mathbb{N} é o conjunto dos números naturais (no contexto usual: 1,2,3,\dots).
  • A notação A\cap B é a interseção (elementos que estão em ambos A e B); A\cup B é a união (elementos que estão em A ou em B ou em ambos).

Passo 2

Breve aula sobre conceitos usados (explicação passo a passo e exemplos simples).
  • Intervalos em \mathbb{R}: (-2,\infty) contém todos os números reais maiores que -2; [1,\infty) contém todos os reais maiores ou iguais a 1. Se um intervalo é aberto em um extremo (parênteses) o ponto extremo não pertence ao intervalo; se é fechado (colchete) o ponto extremo pertence.
  • União e interseção: A\cup B contém tudo que está em A ou em B. A\cap B contém apenas o que está simultaneamente em A e em B.
  • Conjunto \mathbb{N}: é um conjunto discreto de inteiros (habitualmente \{1,2,3,\dots\}); não contém frações nem decimais como 1{,}5.
    Exemplo simples: (0,1)\cup(1,2)=(0,2)\setminus\{1\} porque 1 não pertence aos intervalos abertos; isso mostra que unir dois intervalos que deixam fora um ponto pode deixar esse ponto fora do conjunto união.

Passo 3

Analisar (-2,\infty)\cup(-\infty,-2).
  • (-2,\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-2\}.
  • (-\infty,-2)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-2\}.
    A união desses dois conjuntos são todos os reais estritamente maiores que -2 ou estritamente menores que -2. O único real que não aparece em nenhum dos dois é exatamente x=-2, porque em ambos os intervalos o ponto -2 é excluído (parênteses). Logo
(-2,\infty)\cup(-\infty,-2)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}.
Como -2\notin (-2,\infty)\cup(-\infty,-2), a igualdade com \mathbb{R} (que contém -2) é falsa. Contraexemplo prático: -2\in\mathbb{R} mas -2\notin(-2,\infty) e -2\notin(-\infty,-2).
Portanto a sentença (a) é Falsa.

Passo 4

Analisar \mathbb{N}=[1,\infty).
  • \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} é o conjunto dos inteiros naturais (discretos).
  • [1,\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 1\} é um intervalo de números reais contínuo, que contém números não inteiros, por exemplo 1{,}5.
    Para que dois conjuntos sejam iguais, cada elemento de um deve pertencer ao outro e vice-versa. Tome x=1{,}5. Tem-se 1{,}5\in[1,\infty) mas 1{,}5\notin\mathbb{N}. Isso mostra que [1,\infty) contém elementos que \mathbb{N} não contém; assim os conjuntos não são iguais.
Portanto a sentença (b) é Falsa.
Observação curta: mesmo que alguém use \mathbb{N} começando em 0, o problema permanece, porque [1,\infty) contém não inteiros.

Passo 5

Analisar 1 \in\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)\cap\left(\dfrac{1}{2},\infty\right).
  • Primeiro avaliamos numericamente os limites para intuição:
    \sqrt{3}\approx 1{,}732 e \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866.
    Então -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0{,}866.
  • O intervalo \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right) é o conjunto de x tais que -\dfrac{\sqrt{3}}{2}<x<\sqrt{3}. Como 1 satisfaz -\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1<\sqrt{3} (porque -0{,}866<1<1{,}732), temos 1\in\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right).
  • O intervalo \left(\dfrac{1}{2},\infty\right) contém todos os x tais que x>\dfrac{1}{2}. Como 1>\dfrac{1}{2}, temos 1\in\left(\dfrac{1}{2},\infty\right).
  • Sendo 1 elemento de ambos os conjuntos, então 1 pertence à interseção deles:
1\in\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)\cap\left(\dfrac{1}{2},\infty\right).
Portanto a sentença (c) é Verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V

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