Prove o seguinte:
Se a<b e c<0, então a \cdot c>b \cdot c.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: a<b e c<0.
  • Objetivo: provar que a\cdot c>b\cdot c.

Passo 2

Transformar a informação sobre c em algo útil: mostrar que -c>0.
Como c<0, se somarmos -c aos dois membros obtemos
c+(-c)<0+(-c).
O lado esquerdo é 0, logo
0< -c,
ou seja, -c>0.

Passo 3

Explicar a regra usada a seguir: multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade.
Mais precisamente, se p>0 e x<y, então px<py. A justificativa rápida: x<y implica y-x>0; como p>0, o produto p(y-x)>0; mas p(y-x)=py-px, logo py-px>0, ou seja, px<py.

Passo 4

Aplicar essa regra ao caso concreto: em a<b multiplicar pelos dois lados por -c, que sabemos ser positivo ( -c>0). Assim
a(-c)<b(-c).

Passo 5

Reescrever os produtos com o sinal menos fora: a(-c)=-(a c) e b(-c)=-(b c). Portanto a desigualdade do passo anterior é
-(a c)<-(b c).

Passo 6

Mostrar que trocar o sinal dos dois lados de uma desigualdade inverte a desigualdade. Provar o lema: se X<Y então -X> -Y.
Prova do lema por adição (somando conservativamente, sem usar multiplicação por negativos): partindo de X<Y, some -X aos dois lados para obter 0<Y-X. Agora some -Y aos dois lados dessa desigualdade para obter -Y< -X. Reescrevendo, isto é -X> -Y. Assim o lema está provado.

Passo 7

Aplicar o lema ao caso do passo 5. Tomando X=-(a c) e Y=-(b c), da desigualdade X<Y obtemos -X> -Y. Mas -X= a c e -Y= b c. Logo
a c > b c,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

a\cdot c>b\cdot c

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