Prove o seguinte:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a condição
(assumir
como número real) e pede para provar a desigualdade
Ou seja: a informação é
e a pergunta é mostrar que, a partir disso, resulta
.
Passo 2
Lembrete básico que vamos usar (fato elementar sobre sinais): se
e
então o produto
.
Explicação curta: números positivos multiplicados dão um número positivo — isto decorre diretamente da definição de ordem no conjunto dos reais.
Explicação curta: números positivos multiplicados dão um número positivo — isto decorre diretamente da definição de ordem no conjunto dos reais.
Passo 3
A partir de
deduzo duas coisas simples:
- Como
e , segue que . (Subtrair de ambos os lados dá , e isso já mostra também que é positivo.) - Subtraindo
em ambos os lados da desigualdade obtemos
Passo 4
Agora uso o fato do Passo 2 com
e
. Como
e
, o produto
é positivo:
Passo 5
Desenvolvendo o produto do passo anterior obtemos
Portanto
. Somando
aos dois lados (soma que preserva a desigualdade) chega-se a
que é exatamente o que queríamos provar.
Passo 6
Comentário pedagógico e incentivo: escolhi fatorar
porque é o caminho mais direto e elementar (não precisa de derivadas nem de propriedades avançadas). Em palavras: para
ambos
e
são positivos, logo o produto é positivo, e isso força
a ser maior que
. Um exemplo numérico para fixar: se
então
. Vai dar certo com qualquer
— você já provou isso acima! Força aí, você consegue 😃