Prove o seguinte:
Se a>1, então a^{2}>a.

Passo 1

O enunciado dá a condição a>1 (assumir a como número real) e pede para provar a desigualdade
a^{2}>a.
Ou seja: a informação é a>1 e a pergunta é mostrar que, a partir disso, resulta a^{2}>a.

Passo 2

Lembrete básico que vamos usar (fato elementar sobre sinais): se x>0 e y>0 então o produto xy>0.
Explicação curta: números positivos multiplicados dão um número positivo — isto decorre diretamente da definição de ordem no conjunto dos reais.

Passo 3

A partir de a>1 deduzo duas coisas simples:
  • Como 1>0 e a>1, segue que a>0. (Subtrair 1 de ambos os lados dá a-1>0, e isso já mostra também que a é positivo.)
  • Subtraindo 1 em ambos os lados da desigualdade a>1 obtemos
a-1>0.

Passo 4

Agora uso o fato do Passo 2 com x=a e y=a-1. Como a>0 e a-1>0, o produto a(a-1) é positivo:
a(a-1)>0.

Passo 5

Desenvolvendo o produto do passo anterior obtemos
a(a-1)=a^{2}-a.
Portanto a^{2}-a>0. Somando a aos dois lados (soma que preserva a desigualdade) chega-se a
a^{2}>a,
que é exatamente o que queríamos provar.

Passo 6

Comentário pedagógico e incentivo: escolhi fatorar a^{2}-a porque é o caminho mais direto e elementar (não precisa de derivadas nem de propriedades avançadas). Em palavras: para a>1 ambos a e a-1 são positivos, logo o produto é positivo, e isso força a^{2} a ser maior que a. Um exemplo numérico para fixar: se a=2 então a^{2}=4>2=a. Vai dar certo com qualquer a>1 — você já provou isso acima! Força aí, você consegue 😃

Resposta

\,a^{2}>a\,

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