Prove o seguinte:
Se 0<a<1, então a^{2}<a.

Passo 1

O enunciado dá que a é um número real que satisfaz 0<a<1. O que se pede: provar que \;a^{2}<a.

Passo 2

Vou usar uma propriedade básica de desigualdades: se dois números reais satisfazem x<y e p>0, então multiplicando ambos os lados por p a desigualdade se preserva, ou seja px<py.
Aplicando isso ao caso dado: como a>0 e a<1, multiplicando a desigualdade a<1 por a (que é positivo) obtemos
a\cdot a < a\cdot 1.
Isso é
a^{2}<a,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora uma explicação alternativa, bem direta e útil para a prova: manipular a diferença \,a^{2}-a.
Escreve-se
a^{2}-a = a(a-1).
Pelo dado, a>0 e a-1<0 (porque a<1). O produto de um número positivo por um número negativo é negativo, logo
a(a-1)<0.
Portanto a^{2}-a<0. Subtraindo a dos dois lados (ou simplesmente reescrevendo a desigualdade) segue que
a^{2}<a.

Passo 4

Pequena intuição e exemplos para fixar: multiplicar um número a por outro número menor que 1 (mas positivo) diminui o resultado relativo a a. Por exemplo, para a=\tfrac{1}{2} tem-se a^{2}=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}=a. Note também os casos limite: se a=0 ou a=1 dá igualdade ( 0^{2}=0, 1^{2}=1); se a>1 então a^{2}>a.

Passo 5

Conclusão: para todo número real a tal que 0<a<1 vale \;a^{2}<a.

Resposta

a^{2}<a

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