Prove o seguinte:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
é um número real que satisfaz
. O que se pede: provar que
.
Passo 2
Vou usar uma propriedade básica de desigualdades: se dois números reais satisfazem
e
, então multiplicando ambos os lados por
a desigualdade se preserva, ou seja
.
Aplicando isso ao caso dado: como
e
, multiplicando a desigualdade
por
(que é positivo) obtemos
Isso é
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 3
Agora uma explicação alternativa, bem direta e útil para a prova: manipular a diferença
.
Escreve-se
Pelo dado,
e
(porque
). O produto de um número positivo por um número negativo é negativo, logo
Portanto
. Subtraindo
dos dois lados (ou simplesmente reescrevendo a desigualdade) segue que
Passo 4
Pequena intuição e exemplos para fixar: multiplicar um número
por outro número menor que
(mas positivo) diminui o resultado relativo a
. Por exemplo, para
tem-se
. Note também os casos limite: se
ou
dá igualdade (
,
); se
então
.
Passo 5
Conclusão: para todo número real
tal que
vale
.