Prove que as seguinte séries são divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n^{\alpha}} z^{n}, para z \neq 0 e \alpha>1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer z\neq 0 e qualquer \alpha>1, a série
\sum_{n=1}^{\infty}2^{n^{\alpha}}\,z^{n}
não converge.
O conteúdo principal que vamos usar é o teste da raiz: se, para os termos a_{n} de uma série,
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}
existe e L>1, então a série diverge.

Passo 2

Identificamos os termos da série:
a_{n} \;=\;2^{n^{\alpha}}\,z^{n}.
Vamos aplicar o teste da raiz, calculando
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} \;=\; \sqrt[n]{2^{n^{\alpha}}\;\lvert z\rvert^{n}} \;=\; 2^{\frac{n^{\alpha}}{n}}\;\lvert z\rvert \;=\; 2^{\,n^{\alpha-1}}\;\lvert z\rvert.

Passo 3

Como \alpha>1, o expoente n^{\alpha-1} tende a +\infty quando n\to\infty. Logo
2^{\,n^{\alpha-1}} \;\longrightarrow\; +\infty \quad\Rightarrow\quad 2^{\,n^{\alpha-1}}\;\lvert z\rvert \;\longrightarrow\;+\infty.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} \;=\; +\infty \;>\;1.

Resposta

Pelo teste da raiz, como \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}=+\infty>1, a série diverge para todo z\neq 0 e \alpha>1.

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