Prove que as seguinte séries são divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} n!z^{n}, para z \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}n!\,z^{n}
é divergente sempre que z\neq0. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de termos positivos (ou em módulo, no caso de termos complexos).

Passo 2

Definimos
a_{n}=n!\,z^{n}.
O teste da razão diz que, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|,
então:
  • Se L<1, a série converge absolutame­n­te.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos em módulo:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\frac{(n+1)!\,\lvert z\rvert^{\,n+1}}{n!\,\lvert z\rvert^{\,n}} =(n+1)\,\lvert z\rvert.

Passo 4

Como z\neq0, temos \lvert z\rvert>0 e, portanto,
\lim_{n\to\infty}(n+1)\,\lvert z\rvert = +\infty >1.
Pelo teste da razão, isso implica que a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n!\,z^{n} diverge para todo z\neq0.

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