Prove as seguintes afirmações:
Passo 1
O enunciado é curto e claro: provar que
.
Informações e símbolos que aparecem e que vamos usar sem perguntar nada:
Informações e símbolos que aparecem e que vamos usar sem perguntar nada:
-
é a base dos logaritmos naturais (número de Euler). -
é o número real (aprox. ). -
é a unidade imaginária, com a propriedade .
A tarefa é mostrar, de maneira rigorosa e explicada passo a passo, que a expressãovale exatamente zero.
Passo 2
Definição da exponencial complexa por séries de potências (ferramenta básica e segura). Para qualquer número complexo
define-se
Explicação: aqui
é o fatorial de
(por exemplo
), e a soma significa que somamos todos os termos
para
. Essa série converge absolutamente para todo
, por isso é uma definição válida da função exponencial para números complexos. Ou seja, podemos substituir
por qualquer expressão complexa e manipular a série term a term.
Passo 3
Definição das funções trigonométricas por séries de potências (outra ferramenta padrão). Para qualquer
(e, na verdade, para qualquer
) defini-se
Explicação: estas são as séries de Taylor de
e
. Elas também convergem absolutamente para todo
, o que permite manipulações algébricas com segurança.
Passo 4
Aplicando a definição da exponencial ao caso
(com
real), obtemos
Aqui é útil lembrar a sequência de potências de
:
ou seja,
cicla com período
.
Passo 5
Agora separamos a soma em termos com
par e
ímpar. Escrevendo
(pares) e
(ímpares):
- Para
temos . Então a contribuição dos termos pares é
que, pelas definições do Passo 3, é exatamente
.
- Para
temos . Então a contribuição dos termos ímpares é
que é
pelas definições do Passo 3.
Juntando as duas partes (isto é permitido porque as séries convergem absolutamente) obtemos a fórmula de Euler:
Juntando as duas partes (isto é permitido porque as séries convergem absolutamente) obtemos a fórmula de Euler:
Pequena explicação: essa é uma identidade fundamental que relaciona exponencial complexa e funções trigonométricas; foi obtida de forma direta a partir das séries.
Passo 6
Agora basta avaliar a identidade de Euler no caso
. Substituindo
na fórmula do Passo 5,
Sabemos os valores trigonométricos básicos:
Portanto
Passo 7
Finalmente, somando
aos dois lados da igualdade anterior obtemos
que é precisamente a identidade que queríamos provar. Comentário intuitivo rápido: geometricamente
representa um ponto na circunferência unitária do plano complexo com ângulo
; para
esse ponto é
, daí a relação.