Prove as seguintes afirmações:
e^{\pi i}+1=0

Passo 1

O enunciado é curto e claro: provar que \,e^{\pi i}+1=0.
Informações e símbolos que aparecem e que vamos usar sem perguntar nada:
  • e é a base dos logaritmos naturais (número de Euler).
  • \pi é o número real \pi (aprox. 3,1415\ldots).
  • i é a unidade imaginária, com a propriedade \,i^2=-1.
    A tarefa é mostrar, de maneira rigorosa e explicada passo a passo, que a expressão \,e^{\pi i}+1 vale exatamente zero.

Passo 2

Definição da exponencial complexa por séries de potências (ferramenta básica e segura). Para qualquer número complexo z define-se
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Explicação: aqui n! é o fatorial de n (por exemplo 3!=6), e a soma significa que somamos todos os termos \dfrac{z^n}{n!} para n=0,1,2,\ldots. Essa série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}, por isso é uma definição válida da função exponencial para números complexos. Ou seja, podemos substituir z por qualquer expressão complexa e manipular a série term a term.

Passo 3

Definição das funções trigonométricas por séries de potências (outra ferramenta padrão). Para qualquer x\in\mathbb{R} (e, na verdade, para qualquer x\in\mathbb{C}) defini-se
\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!},
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Explicação: estas são as séries de Taylor de \cos e \sin. Elas também convergem absolutamente para todo x, o que permite manipulações algébricas com segurança.

Passo 4

Aplicando a definição da exponencial ao caso z=ix (com x real), obtemos
e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n}x^{n}}{n!}.
Aqui é útil lembrar a sequência de potências de i:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,\\ \ldots
ou seja, i^{n} cicla com período 4.

Passo 5

Agora separamos a soma em termos com n par e n ímpar. Escrevendo n=2k (pares) e n=2k+1 (ímpares):
  • Para n=2k temos i^{2k}=(i^{2})^{k}=(-1)^{k}. Então a contribuição dos termos pares é
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k}x^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!},
que, pelas definições do Passo 3, é exatamente \cos x.
  • Para n=2k+1 temos i^{2k+1}=i\cdot i^{2k}=i(-1)^{k}. Então a contribuição dos termos ímpares é
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k+1}x^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
que é i\sin x pelas definições do Passo 3.
Juntando as duas partes (isto é permitido porque as séries convergem absolutamente) obtemos a fórmula de Euler:
e^{ix}=\cos x + i\sin x.
Pequena explicação: essa é uma identidade fundamental que relaciona exponencial complexa e funções trigonométricas; foi obtida de forma direta a partir das séries.

Passo 6

Agora basta avaliar a identidade de Euler no caso x=\pi. Substituindo x=\pi na fórmula do Passo 5,
e^{i\pi}=\cos\pi + i\sin\pi.
Sabemos os valores trigonométricos básicos:
\cos\pi=-1,\qquad \sin\pi=0.
Portanto
e^{i\pi}=-1 + i\cdot 0 = -1.

Passo 7

Finalmente, somando 1 aos dois lados da igualdade anterior obtemos
e^{i\pi}+1=0,
que é precisamente a identidade que queríamos provar. Comentário intuitivo rápido: geometricamente \,e^{i\theta} representa um ponto na circunferência unitária do plano complexo com ângulo \theta; para \theta=\pi esse ponto é -1, daí a relação.

Resposta

e^{\pi i}+1=0

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