Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve a função seno com argumento complexo
. - A variável
pode ser considerada um número complexo arbitrário (ou real, que é caso particular).
Nada mais é fornecido; o objetivo é provar que a igualdade vale para todo.
Passo 2
Definir claramente as funções envolvidas usando definições que funcionam no plano complexo.
Definição 1 (seno complexo via exponenciais): para qualquer número complexo
,
Explicação: esta é a extensão natural da definição do seno para argumentos complexos, baseada na fórmula de Euler. A exponencial
para
complexo é definida pela série de potências ou pelas propriedades usuais da exponenciação, e mantém as propriedades algébricas que vamos usar (por exemplo
).
Definição 2 (seno hiperbólico): para qualquer número complexo
,
Explicação:
é definido dessa forma e também é válido para argumentos complexos.
Observação útil sobre
:
é a unidade imaginária, com a propriedade
. Por isso
e
.
Passo 3
Aplicar a definição do seno complexo com
. Substituir
na fórmula da Definição 1:
Agora simplificar os expoentes usando
:
Substituindo essas igualdades na expressão de
:
Passo 4
Reescrever o numerador para evidenciar
. Note que
Portanto
Reconhecendo a definição de
dada no Passo 2, que é
, obtemos
Passo 5
Transformar a divisão por
numa multiplicação conveniente. Lembrando que
(pois
), segue que
Logo
que é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.
Passo 6
(Versão alternativa — série de potências, para reforçar a intuição)
- Série do seno:
. - Substituindo
:
porque
, que cancela o fator
original. A série
é exatamente
. Assim
. Essa via mostra que a identidade também decorre termo a termo das séries de potências.