Mostre que:
\operatorname{sen}(i z)=i \operatorname{sinh} z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\operatorname{sen}(i z)=i \operatorname{sinh} z.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve a função seno com argumento complexo i z.
  • A variável z pode ser considerada um número complexo arbitrário (ou real, que é caso particular).
    Nada mais é fornecido; o objetivo é provar que a igualdade vale para todo z.

Passo 2

Definir claramente as funções envolvidas usando definições que funcionam no plano complexo.
Definição 1 (seno complexo via exponenciais): para qualquer número complexo w,
\operatorname{sen}(w)=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2i}.
Explicação: esta é a extensão natural da definição do seno para argumentos complexos, baseada na fórmula de Euler. A exponencial e^{u} para u complexo é definida pela série de potências ou pelas propriedades usuais da exponenciação, e mantém as propriedades algébricas que vamos usar (por exemplo e^{a+b}=e^{a}e^{b}).
Definição 2 (seno hiperbólico): para qualquer número complexo z,
\operatorname{sinh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Explicação: \operatorname{sinh} é definido dessa forma e também é válido para argumentos complexos.
Observação útil sobre i: i é a unidade imaginária, com a propriedade i^{2}=-1. Por isso i\cdot i = -1 e e^{i(i z)}=e^{(i^{2})z}=e^{-z}.

Passo 3

Aplicar a definição do seno complexo com w=i z. Substituir w=i z na fórmula da Definição 1:
\operatorname{sen}(i z)=\frac{e^{i(i z)}-e^{-i(i z)}}{2i}.
Agora simplificar os expoentes usando i^{2}=-1:
e^{i(i z)}=e^{(i^{2})z}=e^{-z}, \qquad e^{-i(i z)}=e^{- (i^{2}) z}=e^{z}.
Substituindo essas igualdades na expressão de \operatorname{sen}(i z):
\operatorname{sen}(i z)=\frac{e^{-z}-e^{z}}{2i}.

Passo 4

Reescrever o numerador para evidenciar \operatorname{sinh} z. Note que
e^{-z}-e^{z}=-(e^{z}-e^{-z}).
Portanto
\operatorname{sen}(i z)=\frac{-(e^{z}-e^{-z})}{2i}.
Reconhecendo a definição de \operatorname{sinh} z dada no Passo 2, que é \operatorname{sinh} z=\dfrac{e^{z}-e^{-z}}{2}, obtemos
\operatorname{sen}(i z)=\frac{-2\operatorname{sinh} z}{2i}=\frac{-\operatorname{sinh} z}{i}.

Passo 5

Transformar a divisão por i numa multiplicação conveniente. Lembrando que 1/i=-i (pois i\cdot(-i)=-i^{2}=1), segue que
\frac{-\operatorname{sinh} z}{i}=-\operatorname{sinh} z\cdot\frac{1}{i}=-\operatorname{sinh} z\cdot(-i)=i\operatorname{sinh} z.
Logo
\operatorname{sen}(i z)=i\operatorname{sinh} z,
que é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.

Passo 6

(Versão alternativa — série de potências, para reforçar a intuição)
  • Série do seno: \displaystyle \operatorname{sen}w=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Substituindo w=i z:
\operatorname{sen}(i z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(i z)^{2n+1}}{(2n+1)!} = i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!},
porque (i)^{2n+1}=i\cdot(i^{2})^{n}=i\cdot(-1)^{n}, que cancela o fator (-1)^{n} original. A série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} é exatamente \operatorname{sinh} z. Assim \operatorname{sen}(i z)=i\operatorname{sinh} z. Essa via mostra que a identidade também decorre termo a termo das séries de potências.

Resposta

\operatorname{sen}(i z)=i \operatorname{sinh} z

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