Mostre que:
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que
para uma variável complexa (ou real)
.
Informações dadas (implícitas): as funções hiperbólicas e trigonométricas podem ser definidas pelas suas expressões em termos da exponencial complexa. Vamos usar essas definições diretamente.
Informações dadas (implícitas): as funções hiperbólicas e trigonométricas podem ser definidas pelas suas expressões em termos da exponencial complexa. Vamos usar essas definições diretamente.
Passo 2
Definição da função hiperbólica
. Para qualquer número complexo
define-se
Explicando:
é a função exponencial avaliada em
; a fórmula acima é a definição padrão de seno hiperbólico, válida também para argumentos complexos porque a série da exponencial converge para todos os
.
Passo 3
Aplicando a definição com
. Substituindo
na definição de
obtemos
Aqui
é a unidade imaginária e
é a variável do problema.
Passo 4
Definição da função seno em termos da exponencial complexa. Para qualquer
define-se
Explicando: essa é a forma complexa do seno (derivada de fórmulas de Euler). Note que a única diferença entre as expressões de
e
é um fator
no denominador.
Passo 5
Comparando as duas expressões e fazendo a manipulação algébrica simples:
Cada passo é apenas reescrever multiplicando e dividindo por
(válido pois
).
Passo 6
Comentário prático e verificação rápida (para dar confiança): se
for real, pela fórmula de Euler
, então
o que coincide com a identidade provada. Para
complexo a identidade vale por extensão analítica (as definições exponenciais continuam válidas).