Mostre que:
\operatorname{sinh} (i z)=i \operatorname{sen} z

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que
\operatorname{sinh}(i z)=i\,\operatorname{sen} z
para uma variável complexa (ou real) z.
Informações dadas (implícitas): as funções hiperbólicas e trigonométricas podem ser definidas pelas suas expressões em termos da exponencial complexa. Vamos usar essas definições diretamente.

Passo 2

Definição da função hiperbólica \operatorname{sinh}. Para qualquer número complexo w define-se
\operatorname{sinh} w = \frac{e^{w}-e^{-w}}{2}.
Explicando: e^{w} é a função exponencial avaliada em w; a fórmula acima é a definição padrão de seno hiperbólico, válida também para argumentos complexos porque a série da exponencial converge para todos os w.

Passo 3

Aplicando a definição com w = i z. Substituindo w=i z na definição de \operatorname{sinh} obtemos
\operatorname{sinh}(i z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}.
Aqui i é a unidade imaginária e z é a variável do problema.

Passo 4

Definição da função seno em termos da exponencial complexa. Para qualquer z define-se
\operatorname{sen} z = \frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}.
Explicando: essa é a forma complexa do seno (derivada de fórmulas de Euler). Note que a única diferença entre as expressões de \operatorname{sinh}(i z) e \operatorname{sen} z é um fator i no denominador.

Passo 5

Comparando as duas expressões e fazendo a manipulação algébrica simples:
\operatorname{sinh}(i z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2} = i\cdot\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i} = i\,\operatorname{sen} z.
Cada passo é apenas reescrever multiplicando e dividindo por i (válido pois i\neq0).

Passo 6

Comentário prático e verificação rápida (para dar confiança): se z for real, pela fórmula de Euler e^{i z}=\cos z + i\sin z, então
\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}=\frac{(\cos z + i\sin z)-(\cos z - i\sin z)}{2}=i\sin z,
o que coincide com a identidade provada. Para z complexo a identidade vale por extensão analítica (as definições exponenciais continuam válidas).

Resposta

\operatorname{sinh} (i z)=i \operatorname{sen} z

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