Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas
Passo 1
O que o problema pede: demonstrar a relação entre os versores das coordenadas polares (curvilíneas) no plano, especificamente provar que
Informações relevantes que usaremos (não vou resolver ainda, só listar):
- Existem os versores cartesianas fixos
e (eixo e ). - Os versores polares
e dependem do ângulo e podem ser expressos em função de e . - Vou precisar das expressões de
e em coordenadas cartesianas e da derivada em relação a .
Passo 2
Definir os versores polares em termos dos versores cartesianos. Isso é padrão e importante: em coordenadas polares, o versor radial aponta na direção que faz ângulo
com o eixo
, e o versor azimutal (ou angular) é ortogonal a ele, no sentido positivo de rotação.
Escreve-se:
Explicação didática: imagine um vetor unitário apontando radialmente; suas componentes cartesianas são
-component
e
-component
. O versor
é obtido girando
em
(sentido anti-horário), o que troca componentes e muda sinal conforme acima. Essas fórmulas já são suficientes para trabalhar com derivadas.
Passo 3
Relembre como derivar vetores que são combinações lineares de versores fixos. Os versores
e
são fixos (não dependem de
), então ao derivar uma combinação linear como
em relação a
basta derivar as funções escalares
e
:
Aqui
significa
. Não há termos adicionais porque
e
não dependem de
.
Passo 4
Aplicar a regra de derivação ao versor
escrito em componentes cartesianas. Usando a expressão do Passo 2:
portanto
Calcule as derivadas escalares:
e
. Assim obtemos
Passo 5
Comparar o vetor encontrado com a expressão do versor radial
do Passo 2. Lembrando:
Observe que o resultado da derivada do Passo 4 é exatamente o negativo das componentes de
:
Passo 6
Interpretação geométrica curta (útil para a prova): conforme
aumenta, o versor
gira no plano; sua taxa de variação é um vetor que aponta na direção oposta ao versor radial
. Isso coincide com a identidade vetorial que acabamos de obter via componentes. Esse argumento geométrico complementa a demonstração por cálculo.