Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas
\frac{d \hat{a}_{ phi}}{d \varphi}=-\hat{a}_{r}

Passo 1

O que o problema pede: demonstrar a relação entre os versores das coordenadas polares (curvilíneas) no plano, especificamente provar que
\frac{d \hat{a}_{\varphi}}{d \varphi}=-\hat{a}_{r}.
Informações relevantes que usaremos (não vou resolver ainda, só listar):
  • Existem os versores cartesianas fixos \hat{i} e \hat{j} (eixo x e y).
  • Os versores polares \hat{a}_{r} e \hat{a}_{\varphi} dependem do ângulo \varphi e podem ser expressos em função de \hat{i} e \hat{j}.
  • Vou precisar das expressões de \hat{a}_{r} e \hat{a}_{\varphi} em coordenadas cartesianas e da derivada em relação a \varphi.

Passo 2

Definir os versores polares em termos dos versores cartesianos. Isso é padrão e importante: em coordenadas polares, o versor radial aponta na direção que faz ângulo \varphi com o eixo x, e o versor azimutal (ou angular) é ortogonal a ele, no sentido positivo de rotação.
Escreve-se:
\hat{a}_{r}=\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j},
\hat{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}.
Explicação didática: imagine um vetor unitário apontando radialmente; suas componentes cartesianas são x-component \cos\varphi e y-component \sin\varphi. O versor \hat{a}_{\varphi} é obtido girando \hat{a}_{r} em +90^\circ (sentido anti-horário), o que troca componentes e muda sinal conforme acima. Essas fórmulas já são suficientes para trabalhar com derivadas.

Passo 3

Relembre como derivar vetores que são combinações lineares de versores fixos. Os versores \hat{i} e \hat{j} são fixos (não dependem de \varphi), então ao derivar uma combinação linear como \alpha(\varphi)\hat{i}+\beta(\varphi)\hat{j} em relação a \varphi basta derivar as funções escalares \alpha(\varphi) e \beta(\varphi):
\frac{d}{d\varphi}\big(\alpha(\varphi)\hat{i}+\beta(\varphi)\hat{j}\big)=\alpha'(\varphi)\hat{i}+\beta'(\varphi)\hat{j}.
Aqui \alpha'(\varphi) significa \dfrac{d\alpha}{d\varphi}. Não há termos adicionais porque \hat{i} e \hat{j} não dependem de \varphi.

Passo 4

Aplicar a regra de derivação ao versor \hat{a}_{\varphi} escrito em componentes cartesianas. Usando a expressão do Passo 2:
\hat{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j},
portanto
\frac{d\hat{a}_{\varphi}}{d\varphi} = \frac{d}{d\varphi}\big(-\sin\varphi\big)\,\hat{i} + \frac{d}{d\varphi}\big(\cos\varphi\big)\,\hat{j}.
Calcule as derivadas escalares: \dfrac{d}{d\varphi}(-\sin\varphi)=-\cos\varphi e \dfrac{d}{d\varphi}(\cos\varphi)=-\sin\varphi. Assim obtemos
\frac{d\hat{a}_{\varphi}}{d\varphi} = -\cos\varphi\,\hat{i} -\sin\varphi\,\hat{j}.

Passo 5

Comparar o vetor encontrado com a expressão do versor radial \hat{a}_{r} do Passo 2. Lembrando:
\hat{a}_{r}=\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j}.
Observe que o resultado da derivada do Passo 4 é exatamente o negativo das componentes de \hat{a}_{r}:
\frac{d\hat{a}_{\varphi}}{d\varphi} = -\big(\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j}\big).

Passo 6

Interpretação geométrica curta (útil para a prova): conforme \varphi aumenta, o versor \hat{a}_{\varphi} gira no plano; sua taxa de variação é um vetor que aponta na direção oposta ao versor radial \hat{a}_{r}. Isso coincide com a identidade vetorial que acabamos de obter via componentes. Esse argumento geométrico complementa a demonstração por cálculo.

Resposta

\frac{d \hat{a}_{\varphi}}{d \varphi}=-\hat{a}_{r}

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