Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas
Passo 1
O enunciado pede provar a igualdade
Informações que temos (implícitas no enunciado e que vamos usar):
- Existem dois versores dependentes do ângulo
: o radial e o tangencial/azimutal . - Podemos usar a base cartesiana fixa
e (vetores constantes, independentes de ) para escrever e em componentes. - As funções trigonométricas
e têm derivadas usuais: e .
Passo 2
Definir os versores em termos da base cartesiana. Pela definição geométrica em coordenadas polares (ou cilíndricas, no plano
) o versor radial aponta na direção que faz ângulo
com o eixo
, e o versor
é ortogonal a
no sentido positivo. Escrevemos, em componentes cartesianas:
Explicação rápida:
tem componentes
porque sua projeção no eixo
é
e no eixo
é
. O versor
é obtido girando
em
(no sentido anti-horário) ou, dependendo da convenção, é o vetor perpendicular que completa a base ortonormal; por isso tem componentes
. Observe que
e
são constantes (não dependem de
).
Passo 3
Derivar
componente a componente em relação a
. Como
e
são constantes, a derivada age apenas sobre os coeficientes trigonométricos. Começamos com
Aplicando a derivada em
:
Usando as derivadas trigonométricas:
portanto
Passo 4
Reconhecer a expressão obtida como
. Compare com a definição de
do Passo 2:
Logo
que é exatamente o resultado da derivada do Passo 3. Assim concluímos que
Passo 5
Intuição geométrica e observação útil para a prova: os versores
e
formam uma base ortonormal que gira com
. Ao variar
ligeiramente,
muda na direção oposta a
(por isso o sinal negativo). De maneira complementar verifica-se também que
de modo que as derivadas geram um ciclo semelhante ao de uma rotação de
. Uma forma compacta de ver isso é observar que o par
pode ser obtido por uma matriz de rotação
aplicada à base
, e a derivada de
é
multiplicada por uma matriz que corresponde a uma rotação de
com sinal apropriado — tudo consistente com o resultado obtido acima.