Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas
\frac{\partial \hat{a}_{R}}{\partial \theta}=\hat{a}_{\theta}

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\frac{\partial \hat{a}_{R}}{\partial \theta}=\hat{a}_{\theta}.
Informações dadas (implícitas na notação):
  • \theta é a coordenada angular (ângulo polar) que parametra as direções no plano.
  • \hat{a}_{R} é o versor radial (unitário na direção que aponta para fora, em ângulo \theta).
  • \hat{a}_{\theta} é o versor angular (unitário tangencial, ortogonal a \hat{a}_{R}, no sentido de aumento de \theta).
    O objetivo é mostrar, com contas passo a passo, que a derivada do versor radial em relação a \theta é exatamente o versor tangencial.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente os versores em termos dos versores cartesianos fixos \hat{i} e \hat{j}. Isso é padrão e muito útil porque facilita derivar componente a componente.
Definição do versor radial: ele aponta na direção que faz ângulo \theta com o eixo x, então suas componentes cartesianas são cosseno e seno:
\hat{a}_{R}=\cos\theta\,\hat{i}+\sin\theta\,\hat{j}.
Definição do versor tangencial: é o resultado de rotacionar \hat{a}_{R} em +90^\circ (no sentido do aumento de \theta), portanto suas componentes são
\hat{a}_{\theta}=-\sin\theta\,\hat{i}+\cos\theta\,\hat{j}.
Comentário rápido (didático): por que essas formas? Se \theta=0 então \hat{a}_{R}=\hat{i} e \hat{a}_{\theta}=\hat{j}. Ao aumentar \theta infinitesimalmente, \hat{a}_{R} gira em direção de \hat{a}_{\theta}, o que já dá intuição do resultado que vamos provar.

Passo 3

Agora derivamos \hat{a}_{R} em relação a \theta componente a componente. Usamos as derivadas elementares \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta e \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta.
Começando de
\hat{a}_{R}=\cos\theta\,\hat{i}+\sin\theta\,\hat{j},
temos
\frac{\partial \hat{a}_{R}}{\partial \theta}=\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)\,\hat{i}+\frac{d}{d\theta}(\sin\theta)\,\hat{j}.
Aplicando as derivadas trigonométricas:
\frac{\partial \hat{a}_{R}}{\partial \theta}=-\sin\theta\,\hat{i}+\cos\theta\,\hat{j}.

Passo 4

Compare o resultado da derivada com a expressão que escrevemos antes para \hat{a}_{\theta}:
\hat{a}_{\theta}=-\sin\theta\,\hat{i}+\cos\theta\,\hat{j}.
Portanto, componente a componente,
\frac{\partial \hat{a}_{R}}{\partial \theta}=\hat{a}_{\theta}.

Passo 5

Vamos reforçar com uma verificação e uma intuição geométrica (úteis para a prova): verificação por ortogonalidade e norma.
  1. Ortogonalidade: como \hat{a}_{R} tem norma unitária, \hat{a}_{R}\cdot\hat{a}_{R}=1. Diferenciando em \theta obtemos
2\,\hat{a}_{R}\cdot\frac{\partial\hat{a}_{R}}{\partial\theta}=0,
logo \hat{a}_{R}\cdot\frac{\partial\hat{a}_{R}}{\partial\theta}=0, isto é, a derivada é ortogonal a \hat{a}_{R}. Isso é consistente com o fato de \hat{a}_{\theta} ser ortogonal a \hat{a}_{R}.
  1. Norma da derivada: calcule a magnitude de \dfrac{\partial\hat{a}_{R}}{\partial\theta} usando a forma obtida no Passo 3:
\left\|\frac{\partial \hat{a}_{R}}{\partial \theta}\right\|^{2}=(-\sin\theta)^{2}+(\cos\theta)^{2}=\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Logo a derivada tem norma unitária e é ortogonal a \hat{a}_{R}, o que identifica unicamente (com a orientação correta em sentido de aumento de \theta) o vetor \hat{a}_{\theta}.
Intuição rápida: girar o versor radial por um pequeno incremento d\theta muda a sua direção numa quantidade aproximada d\theta\,\hat{a}_{\theta}. Dividindo por d\theta dá exatamente \hat{a}_{\theta}.

Resposta

\dfrac{\partial \hat{a}_{R}}{\partial \theta}=\hat{a}_{\theta}

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