\theta é a coordenada angular (ângulo polar) que parametra as direções no plano.
\hat{a}_{R} é o versor radial (unitário na direção que aponta para fora, em ângulo \theta).
\hat{a}_{\theta} é o versor angular (unitário tangencial, ortogonal a \hat{a}_{R}, no sentido de aumento de \theta).
O objetivo é mostrar, com contas passo a passo, que a derivada do versor radial em relação a \theta é exatamente o versor tangencial.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente os versores em termos dos versores cartesianos fixos \hat{i} e \hat{j}. Isso é padrão e muito útil porque facilita derivar componente a componente.
Definição do versor radial: ele aponta na direção que faz ângulo \theta com o eixo x, então suas componentes cartesianas são cosseno e seno:
Comentário rápido (didático): por que essas formas? Se \theta=0 então \hat{a}_{R}=\hat{i} e \hat{a}_{\theta}=\hat{j}. Ao aumentar \theta infinitesimalmente, \hat{a}_{R} gira em direção de \hat{a}_{\theta}, o que já dá intuição do resultado que vamos provar.
Passo 3
Agora derivamos \hat{a}_{R} em relação a \theta componente a componente. Usamos as derivadas elementares \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta e \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta.
logo \hat{a}_{R}\cdot\frac{\partial\hat{a}_{R}}{\partial\theta}=0, isto é, a derivada é ortogonal a \hat{a}_{R}. Isso é consistente com o fato de \hat{a}_{\theta} ser ortogonal a \hat{a}_{R}.
Norma da derivada: calcule a magnitude de \dfrac{\partial\hat{a}_{R}}{\partial\theta} usando a forma obtida no Passo 3:
Logo a derivada tem norma unitária e é ortogonal a \hat{a}_{R}, o que identifica unicamente (com a orientação correta em sentido de aumento de \theta) o vetor \hat{a}_{\theta}.
Intuição rápida: girar o versor radial por um pequeno incremento d\theta muda a sua direção numa quantidade aproximada d\theta\,\hat{a}_{\theta}. Dividindo por d\theta dá exatamente \hat{a}_{\theta}.