Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas \frac{\partial \hat{a}_{\theta}}{\partial \varphi}=\cos \theta \hat{a}_{
phi}
As variáveis independentes são \theta e \varphi; a derivada parcial é em relação a \varphi, portanto \theta será tratada como constante ao diferenciar.
Vou usar as componentes dos versores em coordenadas cartesianas \hat{i},\hat{j},\hat{k}. Essas expressões são as formas usuais dos versores esféricos em função de \theta (colatitude) e \varphi (azimute).
Passo 2
Definir o vetor posição e os versores esféricos em componentes cartesianas (explicando de onde vêm).
Esta fórmula vem da geometria: \sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi e \cos\theta são as projeções direcionais nas três direções cartesianas.
Os versores unitários podem ser obtidos a partir de derivadas do vetor posição:
\hat{a}_r=\dfrac{\partial\vec r/\partial r}{\big\|\partial\vec r/\partial r\big\|}=\dfrac{1}{1}\dfrac{\partial\vec r}{\partial r} porque \partial\vec r/\partial r já tem norma 1. Calculando,
\hat{a}_\theta pode ser obtido por \hat{a}_\theta=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\vec r}{\partial\theta}. Calculando \partial\vec r/\partial\theta e dividindo por r (isto é, tratando r como constante),
\hat{a}_\varphi pode ser obtido por \hat{a}_\varphi=\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial\vec r}{\partial\varphi}. Calculando \partial\vec r/\partial\varphi e dividindo por r\sin\theta,
Observação didática: essas três expressões formam uma base ortonormal dependente de \theta,\varphi. Aqui foi mostrado (rapidamente) como derivar cada uma a partir de \vec r; se quiser pode repetir as derivadas parciais explicitamente para praticar.
Passo 3
Preparar a operação pedida: calcular \dfrac{\partial \hat{a}_\theta}{\partial\varphi}.
Escrevemos \hat{a}_\theta em componentes e lembramos que, na derivada parcial em relação a \varphi, \theta é constante:
Comentário final e intuição (didático e motivador).
Intuição: os versores mudam quando \varphi varia porque a base gira em torno do eixo z. A componente \cos\theta aparece porque o “projeto” da mudança de \hat{a}_\theta no plano azimutal é reduzido pelo ângulo polar \theta.
Dica prática para a prova: memorize as expressões das três componentes em cartesiano ou saiba obtê-las rapidamente a partir de \vec r. Para derivadas parciais, sempre trate as outras coordenadas como constantes.