Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas
\frac{\partial \hat{a}_{\theta}}{\partial \varphi}=\cos \theta \hat{a}_{ phi}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se provar a igualdade
\frac{\partial \hat{a}_{\theta}}{\partial \varphi}=\cos\theta\,\hat{a}_{\varphi}.
  • As variáveis independentes são \theta e \varphi; a derivada parcial é em relação a \varphi, portanto \theta será tratada como constante ao diferenciar.
  • Vou usar as componentes dos versores em coordenadas cartesianas \hat{i},\hat{j},\hat{k}. Essas expressões são as formas usuais dos versores esféricos em função de \theta (colatitude) e \varphi (azimute).

Passo 2

Definir o vetor posição e os versores esféricos em componentes cartesianas (explicando de onde vêm).
  • O vetor posição em coordenadas esféricas é
\vec{r}=r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{i}+r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{j}+r\cos\theta\,\hat{k}.
Esta fórmula vem da geometria: \sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi e \cos\theta são as projeções direcionais nas três direções cartesianas.
  • Os versores unitários podem ser obtidos a partir de derivadas do vetor posição:
    • \hat{a}_r=\dfrac{\partial\vec r/\partial r}{\big\|\partial\vec r/\partial r\big\|}=\dfrac{1}{1}\dfrac{\partial\vec r}{\partial r} porque \partial\vec r/\partial r já tem norma 1. Calculando,
\hat{a}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{j}+\cos\theta\,\hat{k}.
  • \hat{a}_\theta pode ser obtido por \hat{a}_\theta=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\vec r}{\partial\theta}. Calculando \partial\vec r/\partial\theta e dividindo por r (isto é, tratando r como constante),
\hat{a}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{i}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{j}-\sin\theta\,\hat{k}.
  • \hat{a}_\varphi pode ser obtido por \hat{a}_\varphi=\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial\vec r}{\partial\varphi}. Calculando \partial\vec r/\partial\varphi e dividindo por r\sin\theta,
\hat{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}.
  • Observação didática: essas três expressões formam uma base ortonormal dependente de \theta,\varphi. Aqui foi mostrado (rapidamente) como derivar cada uma a partir de \vec r; se quiser pode repetir as derivadas parciais explicitamente para praticar.

Passo 3

Preparar a operação pedida: calcular \dfrac{\partial \hat{a}_\theta}{\partial\varphi}.
  • Escrevemos \hat{a}_\theta em componentes e lembramos que, na derivada parcial em relação a \varphi, \theta é constante:
\hat{a}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{i}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{j}-\sin\theta\,\hat{k}.
  • Agora derivamos componente a componente em relação a \varphi:
    • \dfrac{\partial}{\partial\varphi}\big(\cos\theta\cos\varphi\big)=\cos\theta\cdot(-\sin\varphi) porque \cos\theta é constante frente a \varphi.
    • \dfrac{\partial}{\partial\varphi}\big(\cos\theta\sin\varphi\big)=\cos\theta\cdot\cos\varphi.
    • \dfrac{\partial}{\partial\varphi}\big(-\sin\theta\big)=0 porque não depende de \varphi.
  • Portanto a derivada vetorial é
\frac{\partial \hat{a}_\theta}{\partial\varphi} = \big(-\cos\theta\sin\varphi\big)\,\hat{i} + \big(\cos\theta\cos\varphi\big)\,\hat{j} + 0\,\hat{k}.

Passo 4

Reconhecer a relação com \hat{a}_\varphi e fatorar.
  • Observe os componentes obtidos:
\frac{\partial \hat{a}_\theta}{\partial\varphi} = \cos\theta\big(-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}\big).
  • Mas a expressão entre parênteses é exatamente a definição de \hat{a}_\varphi:
\hat{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}.
  • Logo, podemos escrever
\frac{\partial \hat{a}_\theta}{\partial\varphi}=\cos\theta\,\hat{a}_\varphi.

Passo 5

Comentário final e intuição (didático e motivador).
  • Intuição: os versores mudam quando \varphi varia porque a base gira em torno do eixo z. A componente \cos\theta aparece porque o “projeto” da mudança de \hat{a}_\theta no plano azimutal é reduzido pelo ângulo polar \theta.
  • Dica prática para a prova: memorize as expressões das três componentes em cartesiano ou saiba obtê-las rapidamente a partir de \vec r. Para derivadas parciais, sempre trate as outras coordenadas como constantes.

Resposta

\frac{\partial \hat{a}_{\theta}}{\partial \varphi}=\cos\theta\,\hat{a}_{\varphi}

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