Seja \vec{F}=\vec{\nabla} f, prove \vec{F} é um campo irrotacional. Ou seja, \vec{\nabla} \times \vec{F}=0. Dica: para facilitar, você pode definir o campo no sistema cartesiano ou em coordenadas generalizadas.
4) Seja \vec{A}=\vec{\nabla} \times \vec{F}, prove que \vec{A} é um campo solenoidal. Ou seja, \vec{\nabla} \cdot \vec{A}=0. Dica: para facilitar, você pode definir o campo no sistema cartesiano ou em coordenadas generalizadas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Parte 1: Seja \vec{F}=\vec{\nabla} f para alguma função f. Provar que \vec{F} é irrotacional, ou seja provar \vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}.
  • Parte 2: Seja \vec{A}=\vec{\nabla}\times\vec{F} para algum campo vetorial \vec{F}. Provar que \vec{A} é solenoidal, ou seja provar \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0.
Informações e hipóteses que vamos usar (implícitas no enunciado e necessárias para a prova):
  • As funções envolvidas ( f e as componentes de \vec{F} ) têm derivadas parciais de ordem suficiente e contínuas (pelo menos até segunda ordem quando for preciso usar igualdade de derivadas mistas). Esta regularidade é necessária para aplicar o teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (Teorema de Clairaut).
  • Para simplificar a apresentação, usarei coordenadas cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Vamos lembrar, com calma e de forma prática, o que são gradiente, rotor (curl) e divergente — e suas fórmulas em coordenadas cartesianas, porque vamos fazer o cálculo componente a componente.
  • Definição do gradiente: para uma função escalar f(x,y,z),
\vec{\nabla}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente é a derivada parcial de f em relação àquela coordenada.
  • Definição do rotor (curl): para um campo vetorial \vec{G}=(G_x,G_y,G_z),
\vec{\nabla}\times\vec{G}=\left(\frac{\partial G_z}{\partial y}-\frac{\partial G_y}{\partial z},\;\frac{\partial G_x}{\partial z}-\frac{\partial G_z}{\partial x},\;\frac{\partial G_y}{\partial x}-\frac{\partial G_x}{\partial y}\right).
Isto fornece um vetor cujas componentes são combinações de derivadas parciais das componentes de \vec{G}.
  • Definição da divergente: para um campo vetorial \vec{H}=(H_x,H_y,H_z),
\vec{\nabla}\cdot\vec{H}=\frac{\partial H_x}{\partial x}+\frac{\partial H_y}{\partial y}+\frac{\partial H_z}{\partial z}.
Vou aplicar estas fórmulas diretamente aos casos pedidos.

Passo 3

Prova de que \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}f)=\vec{0}.
Primeiro escrevo \vec{F}=\vec{\nabla}f em componentes:
\vec{F}=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Agora uso a fórmula do rotor com \vec{G}=\vec{F}. A componente x- do rotor é
\big(\vec{\nabla}\times\vec{F}\big)_x=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Escrevendo como derivadas de segunda ordem:
\big(\vec{\nabla}\times\vec{F}\big)_x=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}.

Passo 4

Continuo com as outras componentes do rotor aplicando a mesma ideia:
Componente y:
\big(\vec{\nabla}\times\vec{F}\big)_y=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}.
Componente z:
\big(\vec{\nabla}\times\vec{F}\big)_z=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}.

Passo 5

Agora uso o Teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais mistas): se f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas na vizinhança considerada, então para todas as combinações
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y},\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z},\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}.
Portanto cada componente do rotor que escrevemos é zero. Logo
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}f)=\big(0,0,0\big)=\vec{0}.

Passo 6

Breve comentário didático: o que aconteceu intuitivamente é que o gradiente é um campo que “vem de” uma função escalar; o rotor mede a tendência do campo a “girar” localmente. Como o gradiente aponta para a direção de máximo aumento de f sem circulação intrínseca, o rotor acaba se anulando — formalmente porque as diferenças de derivadas mistas cancelam.

Passo 7

Agora prova de que \vec{\nabla}\cdot\big(\vec{\nabla}\times\vec{F}\big)=0 para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave.
Defino \vec{A}=\vec{\nabla}\times\vec{F}. Escrevendo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) e usando a fórmula do rotor, temos
\vec{A}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\;\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\;\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right).
Agora calculo a divergente de \vec{A} usando a definição da divergente.

Passo 8

Calculo componente a componente da divergente:
\begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot\vec{A} &=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\\[6pt] &=\frac{\partial^2 F_z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 F_y}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2 F_x}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 F_z}{\partial y\partial x} +\frac{\partial^2 F_y}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 F_x}{\partial z\partial y}. \end{aligned}]

Passo 9

Agora agrupo termos que são pares de derivadas mistas iguais (assumindo que as componentes F_x,F_y,F_z têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas):
  • \dfrac{\partial^2 F_z}{\partial x\partial y} cancela com -\dfrac{\partial^2 F_z}{\partial y\partial x}.
  • -\dfrac{\partial^2 F_y}{\partial x\partial z} cancela com \dfrac{\partial^2 F_y}{\partial z\partial x}.
  • \dfrac{\partial^2 F_x}{\partial y\partial z} cancela com -\dfrac{\partial^2 F_x}{\partial z\partial y}.
Portanto todos os termos se cancelam e ficamos com
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0.

Passo 10

Comentário final e intuição: a identidade \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0 é uma expressão formal de que o rotor gera um campo sem “fontes” locais — a circulação induzida por \vec{F} não cria divergente. Juntas, as duas identidades que provamos são padrões em cálculo vetorial e aparecem o tempo todo em física (por exemplo, em eletromagnetismo) e em geometria diferencial (onde são reflexo de \mathrm{d}^2=0 nas formas diferenciais). Lembre-se: a hipótese técnica que permitiu os cancelamentos foi a continuidade das segundas derivadas parciais (ou seja, regularidade suficiente das funções).

Resposta

\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0

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