Seja
, prove
é um campo irrotacional. Ou seja,
. Dica: para facilitar, você pode definir o campo no sistema cartesiano ou em coordenadas generalizadas.
4) Seja
, prove que
é um campo solenoidal. Ou seja,
. Dica: para facilitar, você pode definir o campo no sistema cartesiano ou em coordenadas generalizadas.
4) Seja
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Parte 1: Seja
para alguma função . Provar que é irrotacional, ou seja provar . - Parte 2: Seja
para algum campo vetorial . Provar que é solenoidal, ou seja provar .
Informações e hipóteses que vamos usar (implícitas no enunciado e necessárias para a prova):
- As funções envolvidas (
e as componentes de ) têm derivadas parciais de ordem suficiente e contínuas (pelo menos até segunda ordem quando for preciso usar igualdade de derivadas mistas). Esta regularidade é necessária para aplicar o teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (Teorema de Clairaut). - Para simplificar a apresentação, usarei coordenadas cartesianas
.
Passo 2
Vamos lembrar, com calma e de forma prática, o que são gradiente, rotor (curl) e divergente — e suas fórmulas em coordenadas cartesianas, porque vamos fazer o cálculo componente a componente.
- Definição do gradiente: para uma função escalar
,
Cada componente é a derivada parcial de
em relação àquela coordenada.
- Definição do rotor (curl): para um campo vetorial
,
Isto fornece um vetor cujas componentes são combinações de derivadas parciais das componentes de
.
- Definição da divergente: para um campo vetorial
,
Vou aplicar estas fórmulas diretamente aos casos pedidos.
Passo 3
Prova de que
.
Primeiro escrevo
em componentes:
Agora uso a fórmula do rotor com
. A componente
- do rotor é
Escrevendo como derivadas de segunda ordem:
Passo 4
Continuo com as outras componentes do rotor aplicando a mesma ideia:
Componente
:
Componente
:
Passo 5
Agora uso o Teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais mistas): se
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas na vizinhança considerada, então para todas as combinações
Portanto cada componente do rotor que escrevemos é zero. Logo
Passo 6
Breve comentário didático: o que aconteceu intuitivamente é que o gradiente é um campo que “vem de” uma função escalar; o rotor mede a tendência do campo a “girar” localmente. Como o gradiente aponta para a direção de máximo aumento de
sem circulação intrínseca, o rotor acaba se anulando — formalmente porque as diferenças de derivadas mistas cancelam.
Passo 7
Agora prova de que
para um campo vetorial
suficientemente suave.
Defino
. Escrevendo
e usando a fórmula do rotor, temos
Agora calculo a divergente de
usando a definição da divergente.
Passo 8
Calculo componente a componente da divergente:
Passo 9
Agora agrupo termos que são pares de derivadas mistas iguais (assumindo que as componentes
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas):
-
cancela com . -
cancela com . -
cancela com .
Portanto todos os termos se cancelam e ficamos com
Passo 10
Comentário final e intuição: a identidade
é uma expressão formal de que o rotor gera um campo sem “fontes” locais — a circulação induzida por
não cria divergente. Juntas, as duas identidades que provamos são padrões em cálculo vetorial e aparecem o tempo todo em física (por exemplo, em eletromagnetismo) e em geometria diferencial (onde são reflexo de
nas formas diferenciais). Lembre-se: a hipótese técnica que permitiu os cancelamentos foi a continuidade das segundas derivadas parciais (ou seja, regularidade suficiente das funções).