3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty n^n(x-3)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x0=3:
sumn=1^inftyn^n(x-3)^n
Vamos usar o teste da razão para séries de potências e identificar o raio de convergência R.

Passo 2

Seja an=n^n(x-3)^n. No teste da razão calculamos
L=limntoinfty|an+1an|
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculemos
|an+1an| =(n+1)^,n+1,l|x-3r|^,n+1n^,n,l|x-3r|^,n =(n+1)l(1+1nr)^n,l|x-3r|

Passo 4

Sabemos que
limntoinftyl(1+1nr)^n=e
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L=limntoinfty(n+1),e,l|x-3r|= 0,&se x=3, +infty,&se xneq3
Para qualquer xneq3 temos L=+infty>1, ou seja, diverge. Para x=3, todos os termos (exceto possivelmente o primeiro) são nulos e a série converge trivialmente.

Passo 5

Concluímos que o raio de convergência é R=0 e a série só converge no ponto x=3.

Resposta

O intervalo de convergência é o conjunto 3.

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