Prove as seguintes identidades:
11-sin x+11+sin x=2 sec ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
11-sin x + 11+sin x = 2 sec^2 x
O conteúdo principal aqui é manipular frações algébricas e usar a identidade pitagórica
1 - sin^2 x = cos^2 x

Passo 2

Primeiro vamos juntar as duas frações num único quociente, obtendo o denominador comum:
11-sin x + 11+sin x = (1+sin x) + (1-sin x)(1-sin x)(1+sin x)

Passo 3

No numerador, (1+sin x)+(1-sin x) simplifica-se a
1 + sin x + 1 - sin x = 2
No denominador, usamos a diferença de quadrados:
(1-sin x)(1+sin x) = 1 - sin^2 x = cos^2 x
Assim a soma das frações fica
2cos^2 x

Passo 4

Reconhecendo que 1cos^2 x = sec^2 x, concluímos
2cos^2 x = 2 sec^2 x,
o que é exatamente o lado direito da identidade.

Resposta

11-sin x + 11+sin x = 2 sec^2 x

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